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课时25.2 用列举法求概率
利用列举法求概率的三种方法：
方法一:直接列举法求概率
当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。
方法二:列表法求概率
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 2·1·c·n·j·y21教育网
方法三：树状图法求概率
当一次试验要设计三个或更 ( http: / / www.21cnjy.com )多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 【来源：21cnj*y.co*m】2·1·c·n·j·y
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典例1．（2020·海口市九年级期末）小 ( http: / / www.21cnjy.com )军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）21cnjy.com21·世纪*教育网
A． B． C． D．
变式1-1．（2020·山东淄博市·九年级期末）从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为( )www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
变式1-2．（2020·重庆市期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．1 B． C． D．
变式-3．（2020·兰州市九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）在x2□2xy□y2的空格□中,分别填上“+”或“-”,在所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是( )21教育名师原创作品【出处：21教育名师】
A．1 B． C． D．
典例2．（2020·太原市九年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是( )www.21-cn-jy.com【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
变式2-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式2-2．（2020·合肥市期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
变式2-3．（2020·福 ( http: / / www.21cnjy.com )建三明市期末）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
典例3．（2020·浙江金华市·九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
变式3-1．（2020·山东临沂市九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
变式3-2．（2020·陕西宝鸡市· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球,这些球除颜色不同外其余都相同,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是( )
A． B． C． D．
变式3-3．（2020·厦门市九年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程根据规定，我市将垃圾分为了四类可回收垃圾、餐厨垃圾有害垃圾和其他垃圾现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）
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A． B． C． D．
典例4．（2020·滕州市九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（ ）
A．此规则有利于小玲 B．此规则有利于小丽 C．此规则对两人是公平的 D．无法判断
变式4-1．（2020·温州市九年级期末）甲、乙两人投掷两个普通的正方体骰子，规定掷出“和为”算甲赢，掷出“和为”算乙赢，这个游戏是否公平？（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙公平 D．不能判断
变式4-2．（2019·靖远县九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（ ）时，游戏对甲乙双方公平．
A．3 B．4 C．5 D．6
变式4-3．（2019·德州市九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）甲、乙两人分别投掷一枚质地均匀的正方体骰子，规定掷出“和为7”算甲赢，掷出“和为8”算乙赢，这个游戏对甲乙双方（ ）
A．对甲有利 B．公平 C．对乙有利 D．无法确定
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
2．（2021·山东德州市·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（ ）【出处：21教育名师】21·cn·jy·com
A． B． C． D．
3．（2021·山东菏泽市· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）在四张背面完全相同的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
4．（2021·新郑市九年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·包头市九年级期末）现有两个 ( http: / / www.21cnjy.com )不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）21*cnjy*com21*cnjy*com
A． B． C． D．
6．（2021·长沙市开 ( http: / / www.21cnjy.com )福区九年级期末）疫情防控，我们一直在坚守．某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查．若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·济宁市九年级期末）让图中 ( http: / / www.21cnjy.com )两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（ ）
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A． B． C． D．
8．（2021·成都市九年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·宁夏九年级期末）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④，⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为（ ）21教育网
A． B． C． D．
10．（2021·山东泰安市期末） ( http: / / www.21cnjy.com )某中学有5名教师自愿献血，其中2人A型血，2人B型血，1人O型血，现从他们当中随机挑选2人参与献血，抽到的两人血型不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·百色市九年级期末）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是___．【来源：21·世纪·教育·网】21世纪教育网版权所有
12．（2021·山东泰安市·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在同一组的概率是______．21cnjy.com
13．（2021·江苏淮安市·九年级期末）抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____．www.21-cn-jy.com
14．（2021·眉山市九年级期末）如果 ( http: / / www.21cnjy.com )从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是____．【来源：21·世纪·教育·网】
15．（2021·重庆綦江区·九年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )某班级准备举办“迎鼠年，闹新春”的民俗知识竞答活动，计划A、B两组对抗赛方式进行，实际报名后，A组有男生3人，女生2人，B组有男生1人，女生4人，若从两组
16．（2021·西安市九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.www-2-1-cnjy-com
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完 ( http: / / www.21cnjy.com )全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.2-1-c-n-j-y21*cnjy*com
（1）该班男生“小刚被抽中”是 ( http: / / www.21cnjy.com ) 事件，“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.
17．（2021·郑州市期末）为了丰富校园文 ( http: / / www.21cnjy.com )化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是 ．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．
教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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课时25.2 用列举法求概率
利用列举法求概率的三种方法：
方法一:直接列举法求概率
当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。
方法二:列表法求概率
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 21世纪教育网版权所有21教育网
方法三：树状图法求概率
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 21·cn·jy·com
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典例1．（2020·海口市九年级期末）小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），
∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是.
故选A.
变式1-1．（2020·山东淄博市·九年级期末）从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为( )21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
∴能构成三角形的概率为：，
故选C．
名师点拨：此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式1-2．（2020·重庆市期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（ ）
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A．1 B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据题意，先列举所有的可能结果，然后选取能组成等腰三角形的结果，根据概率公式即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，在A，B，C，D四个点中任选三个点，有：
△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，共4个三角形；
其中是等腰三角形的有：△ACD、△BCD，共2个；
∴能够组成等腰三角形的概率为：；
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了列举法求概率，等腰三角形的性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是熟练掌握列举法求概率，以及正确得到等腰三角形的个数．
变式-3．（2020·兰州市 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期中）在x2□2xy□y2的空格□中,分别填上“+”或“-”,在所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是( )
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
能够凑成完全平方公式，则2xy前可是“－”，也可以是“＋”，但y2前面的符号一定是：“＋”，此题总共有(－，－)、(＋，＋)、(＋，－)、(－，＋)四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率为： .【出处：21教育名师】
故答案为C
名师点拨：让填上“＋”或“－”后成为完全平方公式的情况数除以总情况数即为所求的概率.
此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比.
典例2．（2020·太原市九年级期末）经过某 ( http: / / www.21cnjy.com )十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得．21教育名师原创作品www-2-1-cnjy-com
【详解】
画“树形图”如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故选B．
【名师点拨】
此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解
变式2-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】
由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，
故选C.
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
变式2-2．（2020·合肥市期末） ( http: / / www.21cnjy.com )学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，
∴小明与小红同车的概率是：．
名师点拨：此题主要考查了用列表法 ( http: / / www.21cnjy.com )或树状图求概率，解题关键是用字母或甲乙丙分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明与小红同车的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．21cnjy.com21教育名师原创作品
变式2-3．（2020· ( http: / / www.21cnjy.com )福建三明市期末）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
∴两次都摸到白球的概率为．
故选A．
【名师点拨】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
典例3．（2020·浙江金华市·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
提示：将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．
详解：将三个小区分别记为A、B、C，
列表如下：
A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，
所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为.
故选C．
名师点拨：此题主要考查了列表 ( http: / / www.21cnjy.com )法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式3-1．（2020·山东临沂市九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
列表得出所有等可能的情况数，找出所选两人恰好是马鸣和杨豪的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：列表得：
( http: / / www.21cnjy.com )
所有等可能的情况有12种，其中恰好抽到马鸣和杨豪的情况有2种，
恰好抽到马鸣和杨豪的概率是，
故选C.
【名师点拨】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式3-2．（2020·陕西宝鸡市 ( http: / / www.21cnjy.com )·九年级期末）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球,这些球除颜色不同外其余都相同,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
试题提示：列表如下
黑 白1 白2
黑 （黑，黑） （白1，黑） （白2，黑）
白1 （黑，白1） （白1，白1） （白2，白1）
白2 （黑，白2） （白1，白2） （白2，白2）
由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是．故答案选D．
考点：用列表法求概率．
变式3-3．（2020·厦门市九年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程根据规定，我市将垃圾分为了四类可回收垃圾、餐厨垃圾有害垃圾和其他垃圾现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据题意，由列表法得到投放的所有结果，然后正确的只有1种，即可求出概率.
【详解】
解：由列表法，得：
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∴共有12种等可能的结果数，其中将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的结果为1种，21教育网【版权所有：21教育】
∴投放正确的概率为：；
故选择：C.
【名师点拨】
本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是正确求出所有等可能的结果数.
典例4．（2020·滕州市九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（ ）
A．此规则有利于小玲 B．此规则有利于小丽 C．此规则对两人是公平的 D．无法判断【出处：21教育名师】
【答案】C
【详解】
试题解析：抛掷两枚均匀的正方体骰子，掷得点数之和为偶数的概率是，点数之和为奇数的概率是，所以规则对两人是公平的，
故选C．
变式4-1．（2020·温州市九年级期末）甲、乙两人投掷两个普通的正方体骰子，规定掷出“和为”算甲赢，掷出“和为”算乙赢，这个游戏是否公平？（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙公平 D．不能判断
【答案】B
【提示】
游戏是否公平，关键要看是否 ( http: / / www.21cnjy.com )游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两个骰子上的数字之和为7或8时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．www-2-1-cnjy-com
【详解】
两骰子上的数字之和是7的有3+4=7； ( http: / / www.21cnjy.com )4+3=7，2+5=7；5+2=7，1+6=7；6+1=7共6种情况，和为8的有2+6=8；6+2=8，3+5=8；5+3=8；4+4=8共5种情况，甲赢的概率大，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
变式4-2．（2019·靖远 ( http: / / www.21cnjy.com )县九年级期末）某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（ ）时，游戏对甲乙双方公平．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【提示】
根据题意表示出摸出是绿球与黑球的概率，令两概率相等求出x的值即可．
【详解】
解：根据题意得：=，即2x=20-x-2x，
解得：x=4．
故选B．
【名师点拨】
此题考查了游戏的公平性，以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．21cnjy.com
变式4-3．（2019·德州市九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）甲、乙两人分别投掷一枚质地均匀的正方体骰子，规定掷出“和为7”算甲赢，掷出“和为8”算乙赢，这个游戏对甲乙双方（ ）
A．对甲有利 B．公平 C．对乙有利 D．无法确定
【答案】A
【提示】
游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两个骰子上的数字之和为7或8时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【详解】
两骰子上的数字之和是7的有3+4=7； ( http: / / www.21cnjy.com )4+3=7，2+5=7；5+2=7，1+6=7；6+1=7共6种情况，和为8的有2+6=8；6+2=8，3+5=8；5+3=8；4+4=8共5种情况，甲赢的概率大，
故选A．
【名师点拨】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，
∴P（一红一黄）==．故选C．
2．（2021·山东德州市·九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
画树状图（用、、分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】
画树状图为：（用分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率．
故选A．
【名师点拨】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率.
3．（2021·山东菏泽市·九年级期末）在四 ( http: / / www.21cnjy.com )张背面完全相同的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：分别用A、B、C、D表示正方形、正五边形、正六边形、圆，
其中正方形、正六边形、圆是中心对称图形，
画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况，
∴抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为：．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查的是中心对称图形的概念 ( http: / / www.21cnjy.com )，用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（2021·新郑市九年级期末）小李与小陈 ( http: / / www.21cnjy.com )做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
画出树状图，共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，即可得出答案．
【详解】
解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
∴小李获胜的概率为；
故选A．
【名师点拨】
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．
5．（2021·包头市九年级期末）现有两个 ( http: / / www.21cnjy.com )不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】
解：列表如下：
黄 红 红
红 （黄，红） （红，红） （红，红）
红 （黄，红） （红，红） （红，红）
白 （黄，白） （红，白） （红，白）
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了列表法与树状图的知识以及概率公式，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．21*cnjy*com
6．（2021·长沙市开福区九年级期末）疫情 ( http: / / www.21cnjy.com )防控，我们一直在坚守．某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查．若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．2-1-c-n-j-y
【详解】
将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：
A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况，
所以他们恰好抽到同一个小区的概率为.
故选：A．【来源：21·世纪·教育·网】
【名师点拨】
此题主要考查了列表法求概 ( http: / / www.21cnjy.com )率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．（2021·济宁市九年级期末）让 ( http: / / www.21cnjy.com )图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数情况有10种，
则P=．
故选C．
【名师点拨】
本题考查列表法与树状图法．
8．（2021·成都市九年级期末）现有两道数 ( http: / / www.21cnjy.com )学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据题意画树状图或者列表找出所有可能出现的情况总数，以及两道题恰好全部猜对的数量即可求出.
【详解】
解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有16种等可能出现的结果情况，其中两道题恰好全部猜对的只有1种，
所以，两道题恰好全部猜对的概率为，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查画树状图法或列表法求事件发生的概率，根据题意正确画树状图或列表是解题的关键.
9．（2021·宁夏九年级期末）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④，⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为（ ）www.21-cn-jy.com【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据菱形的判定方法求解即可．
【详解】
解：：①；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定是菱形；
②；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定是矩形；
③；是本身具有的性质，无法判定是菱形；
④，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形；
⑤．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定是矩形
∴共有5种等可能结果，其中符合题意的有2种
∴能判定是菱形的概率为
故选：B．
【名师点拨】
本题考查概率的计算及菱形的判定，掌握菱形的判定方法正确提示推理是解题关键．
10．（2021·山东泰 ( http: / / www.21cnjy.com )安市期末）某中学有5名教师自愿献血，其中2人A型血，2人B型血，1人O型血，现从他们当中随机挑选2人参与献血，抽到的两人血型不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据题意列表得出所有等可能的结果，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：列表如下：
O A A B B
O ------- OA OA OB OB
A AO --------- AA AB AB
A AO AA ------- AB AB
B BO BA BA -------- BB
B BO BA BA BB --------
∵共有20种等可能的结果，其中抽到的两人血型不同的结果有16种，
∴抽到的两人血型不同的概率为．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了列表法求概率，解题关键是正确列出表格，准确求出概率．
11．（2021·百色市九年级期末）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是___．21·世纪*教育网www.21-cn-jy.com
【答案】．
【详解】
试题提示：画树状图为：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率=．故答案为．21*cnjy*com
12．（2021·山东泰安市·九年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在同一组的概率是______．【版权所有：21教育】
【答案】
【详解】
解：设四个小组分别记作A、B、C、D，
画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
小明和小亮所有分组的情况共16种，小明和小亮被分在同一组的情况有4种，所以小明和小亮被分在同一组的概率为.2-1-c-n-j-y
故答案为：.
13．（2021·江苏淮安市·九年级期末）抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____．21*cnjy*com
【答案】
【详解】
试题提示：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．共有正反，正正，反正，反反4种可能，则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为.
故答案为.
14．（2021·眉山市九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是____．
【答案】．
【提示】
从1到10这10个整数中任意选取一个数，找出是5的倍数的个数，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是=．
故答案为：．
【名师点拨】
此题主要考查了概率公式，熟记事件A的概率公式：P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15．（2021·重庆綦江区· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）某班级准备举办“迎鼠年，闹新春”的民俗知识竞答活动，计划A、B两组对抗赛方式进行，实际报名后，A组有男生3人，女生2人，B组有男生1人，女生4人，若从两组中各随机抽取1人，则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是__________．
【答案】
【提示】
利用列表法把所有情况列出来，再用概率公式求解即可．
【详解】
列表如下
( http: / / www.21cnjy.com )
根据表格可知共有25种可能的情况出现，其中抽取到的两人刚好是1男1女的有14种情况
∴抽取到的两人刚好是1男1女的概率是
故答案为：．
【名师点拨】
本题考查了概率的问题，掌握列表法和概率公式是解题的关键．
16．（2021·西安市九年级期末）今年 ( http: / / www.21cnjy.com )某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.【来源：21cnj*y.co*m】
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完 ( http: / / www.21cnjy.com )全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.
（1）该班男生“小刚被抽中 ( http: / / www.21cnjy.com )”是 事件，“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.
【答案】（1）不可能；随机；；（2）
【提示】（1）根据从女班干部中抽取， ( http: / / www.21cnjy.com )由此可知男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，由此即可求得概率；
（2）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合题意的情况数，利用概率公式进行计算即可得.
【详解】（1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件，
“小悦被抽中”是随机事件，
第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，所以“小悦被抽中”的概率为，
故答案为不可能， 随机， ；
（2）画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
由树状图可知共12种可能，其中“小惠被抽中”有6种可能，
所以“小惠被抽中”的概率是: .
【名师点拨】本题考查了随 ( http: / / www.21cnjy.com )机事件、不可能事件、列表或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21·cn·jy·com
17．（2021·郑州市期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是 ．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡 ( http: / / www.21cnjy.com )片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．
【答案】（1）；（2）见解析，.
【提示】
（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝；
（2）列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为.
【名师点拨】
本题考查了列表法或树状图 ( http: / / www.21cnjy.com )法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率
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典例及变式
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