13.3.1等腰三角形 同步练习2020-2021学年人教版数学八年级上册（Word版含答案）

等腰三角形
一、单选题
1．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
2．已知在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（　　）
A．a≤45° B．0° ＜ α ＜ 90° C．α＝90° D．90° ＜ α ＜ 180°
3．如图，点是内一点，，，则以下结论：①②③平分④与的位置关系是互相垂直．其中正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
4．在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ）
A．20 B．16 C．16或20 D．以上都不对
5．已知：如图，经过线段一端点A有一直线l，直线上l存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，DE与BF相交于点G，BD＝BC，BE＝CF，若∠A＝40°，则∠DGF的度数为（　　）
A．40° B．60° C．70° D．110°
7．如图，在中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
9．如图，等腰底边的长为，面积是，为边上的中点，腰的垂直平分线交于，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，EC在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
11．如图，D是AB边上的中点，将ABC沿过D点的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B＝50°，则∠BDF的大小为（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
12．如图，点B、C、E、在同一直线上，△ABC与△CDE为等腰三角形，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，∠BGC＝∠AFC，则下列结论：①DG＝EF；②CG＝CF；③AE＝BD；④AC+CD＝AE．正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
13．如图，△ABC的面积为4cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为______cm2
14．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分别是AB，AC边的垂直平分线，点E、F在BC上，则∠FAE的度数为__________．
16．如图，在四边形中，，，，则的面积为__________．
17．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，点D、E分别为AB、BC上的两点，将△BDE沿DE翻折得到ΔB′DE，DB′交AC于点F，若∠1+∠2＝80°，AD＝AF，则∠2＝___．
三、解答题
18．如图，中，是的角平分线，，求证：．
19．如图，已知点、在△ABC的边上，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于26cm．
（1）求的长．
（2）若，且，求证：．
21．如图，已知四边形，连接，其中，，，延长到点，得，点为上一点，连接、，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，试探究、的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，若，求的度数．
参考答案
1．B
解：①当腰是3，底边是7时，3+3<7不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，7+7>3能构成三角形，则其周长=3+7+7=17．
故选：B．
2．B
解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α，
∴∠B=∠C＝α，
∵三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C＜180°，
即：2α＜180°，
∴α＜90°，
又由题意可知，α＞0° ，
∴0°＜α＜90°，
故选：B．
3．D
解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠BCD＋∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故①错误；
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
故②正确；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故④正确；
∴BD平分∠ABC，故③正确；
故其中正确的有②③④，
故选：D．
4．B
解：①若AB为等腰三角形的腰，则BC即为底边，
由题意：AB=2BC，
∴2AB+BC=40，即：5BC=40，
解得：BC=8，
∴AB=16，
此时，等腰三角形三边为：16、16、8，满足三角形的三边关系，符合题意；
②若AB为等腰三角形的底边，则BC即为腰，
由题意：AB=2BC，
∴2BC+AB=40，即：2AB=40，
解得：AB=20，
∴BC=10，
此时，等腰三角形三边为：10、10、20，
但是10+10=20，不满足三角形的三边关系，不符合题意，舍去；
∴AB的长为16，
故选：B．
5．C
解：如图所示，以B为圆心，以AB的长为半径画弧与直线l交于点D，此时AB=BD，同理以A为圆心以AB的长为半径与直线l交于E、C，此时AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直平分线与直线l交于点F，此时AF=BF，
∴一共有4个点满足题意，
故选C．
6．C
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠DBE＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
在△DBE和△BCF中，
，
∴△DBE≌△BCF（SAS），
∴∠BDE＝∠CBF，
∴∠DGF＝∠DBG+∠BDE＝∠DBG+∠CBF＝∠DBE＝70°，
故选：C．
7．A
解：，
，
．
故选A．
8．B
解：∵AC=BC
∴∠B=∠A=40゜
∴∠ACB=180゜－2∠A=100゜
由尺规作图知，CF是∠ACB的平分线
∴∠BCG=
故选：B．
9．C
解：∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝12，
解得：AD＝6（cm），
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴BM＋MD＝AM＋DM＝AD＝6（cm），
故选：C．
10．D
解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
11．B
解：∵折叠，
∴AD＝DF，
∵D是AB边上的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∵∠B＝50°，
∴∠DFB＝∠B＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠DFB＝80°．
故选：B．
12．A
解：∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
又∵CA=CB，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠GBC=∠FAC，AE=BD，
故③正确，
又∵∠BGC=∠AFC，CA=CB，
∴△BCG≌△ACF（AAS）
∴CG=CF，AF=BG，
故②正确，
∴BD-BG=AE-AF，
即DG=EF，
故①正确，
∵AC=BC，CD=CE，
AC+CD=BC+CE=BE，
∵BE不一定等于AE
故④错误，
综上所述，①②③正确，
故选：A．
13．2
解：如下图：
延长交于，
∵平分，，
∴，
∴，，
∴．
故答案：2
14．10
解：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∵∠EDC+∠C=∠AED，
∴∠C+∠EDC=∠ADE，
又∵∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠B+20°=∠C+∠EDC+∠EDC，
∵∠B=∠C．
∴2∠EDC=20°，
∴∠EDC=10°．
故答案为：10．
15．20°
解：∵∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，
∵DE、GF分别是AB、AC边的垂直平分线，
∴BE=AE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC=100°，
∵∠BAC=80°，
∴∠FAE=∠BAE+∠FAC-∠BAC=100°-80°=20°，
故答案为：20°．
16．200
解：过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在 ACD与 CBE中，
∵，
∴ ACD CBE（AAS），
∴BE=CD=20，
∴的面积=CD BE=×20×20=200，
故答案是200．
17．25°
解：如图，连接，
∠1是△的外角，
∠1 = ∠ +∠，
∠2是△的外角，
∠2 =∠ +∠，
∠1 +∠2 =∠DBE+∠，
将△BDE沿DE翻折得到△，
∠DBE=∠，
∠1 +∠2 = 2∠DBE = 80°，
∠DBE = 40°，
BA= BC，
∠BAC= ∠ACB = 70°，
AD = AF，
∠1 = ∠AFD= 55°，
∠2= 80°-∠1 = 80°- 55°= 25°，
故答案为：25°．
18．证明见解析
解：CDAB，
∠BDC= 90°，
∠BCD+∠CBD= 90°，
∠A +∠CBD = 90°，
∠BCD =∠A，
CE是∠ACD的角平分线，
∠ACE=∠DCE，
∠BEC=∠ACE +∠A =∠DCE +∠BCD，
∠BEC =∠BCE，
BC = BE，
，
EF= CF．
19．（1）见解析；（2）
解：（1）过点作于点，
即
（2）设
，，
∴AE=CE，
又
20．（1）15cm；（2）见解析
解：（1）∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵△BCD的周长等于26cm，
∴BC+CD+BD=26（cm），
∴BC+CD+DA=BC+AC=26（cm），
∵BC=11cm，
∴AC=15（cm），
（2）∵DA=DB，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
21．（1）见详解；（2），理由见详解；（3）
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点F作FM⊥FA交AC于点M，如图2所示：
∵，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．