第5讲：分数除法的运算（讲义）-2021-2022学年数学六年级上册-人教版（教师版）

第三章 分数除法
2.分数除法运算
【知识梳理】
分数除法的意义
与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
分数除法的计算方法
1.分数除以整数的计算方法
分数除以整数（0除外）等于分数乘这个整数的倒数。
2.一个数除以分数的计算方法
一个数（可以是整数、分数，也可以是小数）除以分数，等于这个数乘分数的倒数。
3.分数除法的统一计算法则
一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
4.商与被除数的大小关系
小于1的数（0除外），商大于被除数。
一个数（0除外）除以 1，商等于被除数。
大于1的数，商小于被除数。
三、分数四则混合运算
含有括号的分数四则混合运算和分数连除的运算顺序
含有括号的分数四则混合运算的运算顺序与含有括号的整数四则混合运算的运算顺序
相同，即先算括号里面的，再算括号外面的。
分数连除的运算顺序：与整数连除的运算顺序相同，都是按照从左到右的顺序计算。
分数连除也可以根据分数除法的计算方法直接转化成分数连乘，再约分计算。
2.不含括号的分数四则混合运算的运算顺序
如果只含有同一级运算，按照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，先算乘除法，
再算加减法。
3.整数的运算定律或运算性质在分数混合运算中的运用
在进行分数混合运算时，可以运用加法、乘法的运算定律或减法、除法的运算性质，
使计算简便。
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
乘法分配律：(a+b)×c=ac+bc
减法性质：a-b-c=a-(b+c)
除法性质：a÷b÷c=a÷(b×c)
【诊断自测】
填空。
（1）根据写出两道除法算式：（ ）和（ ）。
（2）÷2是把（ ）平均分成（ ）份，每份是（ ），也就是求（ ）的（ ）
是多少。
（3把米长的绳子平均分成3份，每份是全长的（ ），每份长（ ）米。
÷6=×（ ）=（ ）
10÷（ ）=10×=（ ）
（6）在 里填上“>”“<”或“=”。
19÷ 19 ÷ 3÷ 3×
选择。
（1）÷6的结果是（ ）。
A.× B.×6 C.6× D.×
（2）甲数的是9，乙数的是9，则甲数（ ）乙数。
A.大于 B.小于 C. 等于 D.无法确定
（3）王师傅小时做10个零件，李师傅小时做8个零件，则（ ）。
A.王师傅做得快 B.李师傅做得快 C.两人一样快 D.无法比较
计算下面各题。
5.4×+3.6÷+0.9
解决问题。
（1）从10000年前开始，青藏高原每年都在上升，50年约上升米，青藏高原平均每年
约上升多少米？
（2）北极最大的鲸是格陵兰鲸，刚出生的小鲸一般有三四米长，体重大约为2吨，是它母
亲体重的，成年的格陵兰鲸大约有多重？
（3）乐乐10分钟走了千米，思思20分钟走了千米。谁走得快些？
【考点突破】
类型一：分数除法的意义。
例1. 填空。
根据×=写出两道除法算式：（ ），（ ）。
乐乐有36张邮票，思思的邮票数是乐乐的，思思的邮票数是聪聪的。如果求思
思有多少张邮票，是把（ ）看作单位“1”，列式是（ ）。
如果求聪聪有多少张邮票，是把（ ）看作单位“1”，列式是（ ）。
答案：（1）÷= ÷=
（2）乐乐的邮票数 36× 聪聪的邮票数 36×÷
解析：（1）根据分数的意义，积÷一个因数=另一个因数，可写出两道分数除法算式。
（2）因为是乐乐邮票张数的，所以是把乐乐的邮票数看作单位“1”，乐乐的
邮票数是已知的，即36张，所以求思思的邮票张数即求36的是多少，求
一个数的几分之几是多少用乘法计算，即列式是36×；
因为是聪聪邮票张数的，所以是把聪聪的邮票张数看作单位“1”，关系
式为“聪聪的邮票张数×=思思的邮票张数”，要求聪聪的邮票张数，可根
据分数除法的意义，得出“思思的邮票张数÷=聪聪的邮票张数”，所以列
式为36×÷。
类型二：分数除以整数。
例2.计算。
÷6= ÷4= ÷10=
答案： ÷6=×=
÷4=×=
÷10=×=
解析：根据分数除法计算法则：一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
可将除法转化为乘法。然后先约分，再计算。
类型三：一个数除以分数。
例3.算一算。
÷= ÷= 0÷=
答案： ÷=×20=15
÷=×=
0÷=0
解析：根据分数除法计算法则：一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
可将除法转化为乘法。然后先约分，再计算。
0除以任何数（0除外）都得0。
类型四：商与被除数的大小关系。
例4.在 里填上“>”“<”或“=”。
÷3 ÷ ÷
1× 1÷ ÷1 ×0 ÷ ×
答案：< > < < > >
解析： ÷3 ,因为除数3>1，所以 ÷3<；
÷，因为<1，所以 ÷>；
÷，因为>1，所以 ÷<；
因为1×<1， 1÷>1，所以1×<1÷；
因为÷1=，×0=0，所以÷1>×0；
因为÷>，×<，所以÷>×。
例5.判断。
两个真分数相除，商大于被除数。（ ）
一个数除以假分数，商一定小于被除数。（ ）。
答案：（1）√ （2）×
解析：（1）真分数小于1，当除数小于1时，商大于被除数。故此题正确。
（2）0除以任何非0的数都等于0；假分数为1时，一个非0的数除以1商等于
被除数。故此题错误。
类型五：分数四则混合运算
例6.计算下面各题。
8÷9×
答案： 8÷9×
= =8×× =
= = =
=÷1 =
= =
解析：第1题先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外的除法；
第2题先将除法转化为乘法，然后从左到右的顺序计算；
第3题先算括号里面的除法，再算括号里面的减法，最后算括号外的除法。
例7.填空。
先填一填，再列出综合算式。
÷ = × =（ ）
综合算式是 。
算式中有一个运算符号写错了，请把它改成正确的算式。
。
答案：（1）
×[÷()]=
（2）
解析：第（1）题先将题中式子的所有答案算出，再列出综合算式。通过小括号、中括
号控制运算顺序。
第（2）题根据得数的分母是21，所以可保留第一个运算符号，3×7=21；根据
分子是10，可保留第二个运算符号，5×2=10；试着将第三个符号变成乘号，通
过计算发现，符合要求。
类型六：简便计算。
例8.计算下面各题。
95×3.8+6.2÷
答案： 95×3.8+6.2÷
= = =95×3.8+6.2×95
= = =95×（3.8+6.2）
= = =95×10
= =53+ =950
= =53
解析：第1题先将除法转化为乘法，然后逆用乘法分配律使计算简便。
第2题先将除法转化为乘法，然后将57拆成56+1，这样就可以利用乘法分配律使
计算简便。
第3题先将除法转化为乘法，然后逆用乘法分配律使计算简便。
类型七：运用逆推法解决分数问题。
例9.小马虎在计算一道除法算式时，把除以6按照乘6计算了，结果得。正确的结果应
该是多少呢？
答案：÷6=×= ÷6=×=
答：正确的结果应该是。
解析：根据一个数乘6的结果是进行逆推，即用除以6，求出这个数，也就是除法
算式中的被除数。然后用被除数除以6求出正确的结果。
例10.有一个分数，分子加5可化简为，分子减5可化简为，求这个分数。
答案：（+）÷2=（+）×=
答：这个分数。
解析：“分子加5”可理解为该分数增加了5个分数单位，“分子减5”则可理解为该分
数减少了5个分数单位。比原分数多5个分数单位，比原分数少5个分数
单位，与的和正好是原分数的2倍（多5个分数单位和少5个分数单位相
互抵消）。用它们的和除以2就可以得到原分数。
【易错精选】
选择。
（1）计算：÷5正确的是（ ）。
A.÷5 == B.÷5=×= C.÷5=×=
（2）与大小相等的式子是（ ）。
A. B. C.
判断。
（1）一个数除以真分数，商一定大于被除数。（ ）
（2）。（ ）
1 1
（3）==。（ ）
1 7
1 2
（4）==。（ ）
1 1
3.计算：
（1） （2）
【精华提炼】
1.计算除法时，把除法转化成乘法计算。
2.计算带分数的除法时，先把带分数化成假分数。
3.把除法转化成乘法的要点：（1）被除数不变，（2）除号变乘号；（3）除数变成它的倒数。
4.判断商与被除数的大小关系时，不仅要考虑除数是大于1、等于1还是小于1，还要考虑
被除数是否为0。
分数乘除混合运算和连除都可以转化成连乘，一次约分计算比较简单。
分数连除不能约分，只有转化成乘法算式后才能约分。
计算分数连除时，一定要连续地乘除数的倒数，不要只把第一个除数变倒数。
【本节训练】
训练【1】
1.脱式计算，能简算的要简算。
训练【2】
2.跑得最快的鸟是鸵鸟，小时能跑48千米；游水最快的鸟是巴布亚企鹅，小时能游
13.7千米，鸵鸟每小时跑的比巴布亚企鹅每小时游的路程多多少千米？
训练【3】
3.张老师在计算一道除法算式时，把被除数扩大到原来的3倍后，再除以8，结果是。
你知道这个除法算式的被除数是多少吗？
训练【4】
4. 有一个分数，它的分母加7，化简后为；分母减7，化简后为。这个分数是多少？
基础巩固
填空。
1.把米长的绳子平均剪成6段，每段长（ ）米，每段长是这根绳子长的（ ）。
2.÷（ ）= （ ）×=（ ）。
3.根据算式24×=18写出两道除法算式：（ ）和（ ）。
4.一个数（0除外）除以，这个数就（ ）。
5.甲、乙两个数的积是，甲数是3，乙数是（ ）。
6.甲数是18，是乙数的，乙数是（ ）。
7.在 里填上“>”“<”或“=”。
8.已知a和b互为倒数，那以计算的结果是（ ）。
选择题。
1. a×=b÷（ a、b都大于0 ），则（ ）。
A.ab C. a=b
2.A是真分数，B是假分数，A÷B（ ）A×B。
A. > B. < C. <或=
3.下面的算式中，计算结果最大的算式是（ ）。
A.÷8 B.8÷ C.8×
判断题。
1.甲数除以任意一个不为0的数，都等于甲数乘这个数的倒数。（ ）
2.。（ ）
3. 一个不为0的数除以，这个数就扩大到原来的2倍。（ ）
计算。
1.直接写得数。
÷= ÷= 12÷= ÷26=
÷= 10÷= ÷2= 0÷=
2.脱式计算，能简算的要简算。
3.解方程。
解答题。
乐乐走千米要用小时，他平均每小时走多少千米？他每走1千米要用多少小时？
平行四边形中相邻的两条边的长度分别为米和米，其中较短边上的高是米，另一
条边上的高是多少米？
把一根长米的铁丝截成若干相等的小段，一共截了4次，每段铁丝长多少米？
一共有150千克茶叶，每袋装千克。已经装完了，已经装了多少袋？
一桶油，连桶一共重千克，倒出油的后，剩下的连桶一共重千克，桶重多少千
克？
巅峰突破
巧算：2013÷2013
2.简算。
计算：
2001个1 2001个2
4.求A=的分数值。
2001个3
5.计算并把结果写成小数。
参考答案
【诊断自测】
（1） （2） 2
（3） （4） （5） 16
（6）> < =
2.（1）A （2）B （3）B
3.（1） （2）9 （3）
（1）÷50=（米）
答：青藏高原平均每年约上升米。
（2）2÷=2×75=150（吨）
答：成年的格陵兰鲸大约重150吨。
（3）÷10=×=（千米）
÷20=×=（千米）
>
答：乐乐走得快些。
【易错精选】
1.答案：（1）B （2）B
解析：（1）计算分数除以整数，要把除法转化成乘法来计算。计算时被除数不能变，除
号变乘号，除数变为它的倒数。A选项用分母除以整数了，所以错误 ；C选
项被除数也取了倒数，所以错误。B选项符合计算法则，故B正确。
（2）计算分数除法时，应只把除数改写成它的倒数，同时把“÷”变成“×”。故
选B。
2.答案：（1）× （2）× （3）× （4）×
解析：（1）一个数可以是0，0除以任何不为0的数都得0，此时商等于被除数。故此题
错误 。
（2）计算分数除法时，应只把除数改写成它的倒数，同时把“÷”变成“×”。此
题把被除数也改成它的倒数，所以错误。
（3）分数连除不能约分，只有转化成乘法算式后才能约分。故此题错误。
（4）计算分数连除时，一定要连续地乘除数的倒数，不要只把第一个除数变倒数。
故此题错误。
3.答案：（1） （2）
= =
= =
解析： （1）分数加法、除法混合运算，应先算除法，再算加法。和不能先相加。
（2）先将除法转化为乘法，再分子相乘作分子，分母相乘作分母。
【本节训练】
训练【1】
1.答案：
= = =
=16 = =
= =
=
=
解析：第1题先将除法转化为乘法，再约分，再计算。
第2题先根据减法的性质将和结合凑整，再算括号里的减法，最后算括号
外的除法，把除法转化为乘法。
第3题先将除法转化为乘法，之后可逆用乘法分配律使计算简便。
训练【2】
2.答案：48÷-13.7÷
=48×-×2
=72-27.4
=44.6（千米）
答：鸵鸟每小时跑的比巴布亚企鹅每小时游的路程多44.6千米。
解析：根据“路程÷时间=速度 ”，先分别求出鸵鸟和巴布亚企鹅的速度，然后求它们
速度的差。计算时，先将除法转化为乘法，先算乘法后算减法。
训练【3】
3.答案：×8÷3=×8×=
答：这个除法算式的被除数是。
解析：运用逆推法，即×8是被除数的3倍，所以×8÷3即为原来的被除数。
训练【4】
4.答案：（+）÷2=（+）×=×=
的倒数是。
答：这个分数是。
解析：如果把这个分数的分子、分母交换位置，原题中的分母加、减7就变成了分子加、
减7，求出分子、分母交换后的分数，再求倒数即可。
基础巩固
一、1. 2. 3. 18÷=24 18÷24=
4.扩大4倍 5. 6. 21 7.> < = 8. 8
二、1.B 2.C 3.B
三、1.√ 2.× 3.√
四、1. 13 20 0
2. 2 9
3.
五、1.==（千米） ==（小时）
答：他平均每小时走千米，他每走1千米要用小时。
2.
=
=（米）
答：另一条边上的高是米。
3.÷（4+1）=÷5=×=（米）
答：每段铁丝长米。
4.150÷×=150×2×=75（袋）
答：已经装了75袋。
5.（-)÷
=7×
=11（千克）
-11=（千克）
答：桶重千克。
巅峰突破
1.答案：2013÷2013
=（2013÷2013）÷（2013÷2013）
=1÷[(2013+）×]
=1÷(2013× +×)
=1÷(1+)
=1÷
=1×
=
解析：通过观察发现，除数是一个带分数，它的整数部分和分数部分的分子都和被除数
相同，都是2013，所以可以利用商不变的规律进行转化，使计算简便。
2.答案：
=
=
=（18+1+16）×
=35×
=30
解析：先将除法转化为乘法，通过观察发现：通过变形可出现相同的因数，即
6×=1×，×=×6=16×，这样可逆用乘法分配律提取，
使计算简便。
3.答案：
=49×8-105×3-19×4
=392-315-76
=1
解析：首先把小括号里面的每个分数化成两个分数的差的形式，再根据加法结合律化简小
括号里面的，然后根据乘法分配律，求出算式的值是多少。
2001个1 2001个2
4.答案：
2001个3
2001个1 2000个0
=
2001个1
2000个0
=
=333…34
2000个3
2001个1 2001个2 2001个3
解析：因为111…1222…2=111…1×1000…02，333…3=111…1×3，
2001个1 2000个0 2001个1
2000个0
所以分子和分母可以约去111…1。得到。
2001个，
5.答案：
=104÷100
=1.04
解析：通过观察，两个括号内的分数很有特点，分母相同，可先把每个分数化成假分数，
变为，每个括号内的分子又相同，于是
把104和100逆用乘法分配律提取出来，剩下的分数和相同，通过约分，得到
104÷100。最后得出小数结果为1.04。