2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册4.4.2对数函数的图像和性质 教案

第四章 指数函数与对数函数
4.4.2 对数函数的图像和性质
教学设计
一、教学目标
1.通过画图归纳出对数函数的性质.
2.掌握对数函数的图像和性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题.
3.理解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数的关系. 二、教学重难点
1.教学重点
对数函数的图像和性质;
对数函数性质的初步应用.
2.教学难点
对数函数的性质的应用;
底数a对对数函数图像的影响.
三、教学过程
（一）探究一：对数函数的图像
利用换底公式，可以得到y==﹣.因为点（x，y）与点（x，﹣y）关于x轴对称，所以y=图象上任意一点P（x，y）关于 x轴的对称点P1（x，﹣y）都在y=的图象上，反之亦然.由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.根据这种对称性，就可以利用y=的图象画出y=的图象（图4.4-3）.
为了得到对数函数（a>0，且a≠1）的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察.
探究二：对数函数的图像及性质
选取底数a（a>0，且a≠1）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.
选取底数a的若干个值，画出相应的对数函数的图象（图4.4-4）.
由图像发现对数函数的图象按底数a的取值，可分为01两种类型.因此，对数函数的性质也可以分01两种情况进行研究.
一般地，对数函数的图象和性质如下表所示
探究三：反函数的概念
一般的，指数函数y=ax（a>0，且a≠1）和对数函数（a>0，且a≠1）的图像关于直线y=x对称.由图像得出它们的定义域和值域正好互换，由此得出，当两个函数的定义域和值域正好互换时，我们就说两个函数互为反函数.
结论: 一般的，指数函数y=ax（a>0，且a≠1）和对数函数（a>0，且a≠1）互为反函数，因为它们的定义域和值域正好互换.
探究四：对数函数性质的初步应用
1.设,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：本题考查指数函数、对数函数的单调性，指数式、对数式比较大小..因为和均为减函数，所以.又，所以，所以.故选B.
2.已知，则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：本题考查利用指数与对数函数的单调性比较实数的大小. ，所以a,b,c的大小关系为，故选C.
（二）课堂练习
1.函数的定义域为，则实数a的值为( )
A.0 B.10 C.1 D.
答案：C
解析：由已知，得的解集为.由，得，又当时，，所以，故选C.
2.已知函数的值域为,则其定义域是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵函数的值域为,
∴,即,解得,
∴函数的定义域为,故选C.
3.已知，下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为在R上单调递减，在上单调递增，所以，故A错误；取，，则，故B错误；因为，所以，即，由，得，即，故C正确；画出指数函数与对数函数的图象（如图所示），设其交点坐标为，则，取，由图象可知，，故D错误.
4.函数是(,且)的反函数,则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：∵函数是的反函数,∴,∴,B对,D错;,A对;,C对.故选D.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1.对数函数的图像；
2.对数函数的性质及应用；
3.反函数的概念.
四、板书设计
1.对数函数的图像；
2.对数函数的性质及应用；
3.反函数的概念.