(共20张PPT)
直角三角形
——三边的关系
一、教材分析
勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形取得进一步的认识和理解。
二、教学目标
基于以上分析和数学课程标准的要求，制定了本节课的教学目标。
1、知识与技能：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示边长。学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
2、能力目标：通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。并通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。
3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣，培养合作意识和探索精神。
三、教学重、难点
重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理
难点：用拼图方法证明勾股定理
四、教学方法
本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。
一、情境引入
在2002年的国际数学家大会上采用弦图
作为会徽，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？
R
Q
P
C
A
B
图14.1.1
图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中画出的三个正方形P、Q、R,
之间存在怎样的关系？
观察
猜想：
c
b
a
你能用两种方法表示这个大正方形的面积吗？
=
证法二：
a
b
c
你能用两种方法表示这个小正方形的面积吗？
=
证法三：
勾股定理
对于任意直角三角形，如果两直角边分别为a、b,斜边为c，那么一定有
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
如果知道了直角三角形两边的长度,那么应用勾股定理可以求出第三边的长度
勾股定理的由来：在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。所以我国古代把上面的定理称为“勾股定理”。
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
c
b
a
c2=a2 + b2
a2=c2－b2
b2 =c2-a2
例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
例题分析
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
方法小结
随堂练习
1、 在△ABC中，∠C=90°(1)若a=6，b=10，则c= ; (2)若a=24，c=25，b= 。
2、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
3、求下列图中未知数X，Y的值
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
课堂小结
1、你在本堂课中主要收获了什么？
2、该定理解释了哪一类三角形中的什么元素之间的关系？
3、在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？
作业布置：
1、将课堂训练和课本中未完成的题目练完。
2、思考
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角 的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为 ( )
A
B
C
A.5米 B.12米 C.10米 D.13米
13
12
A
试一试:(共15张PPT)
14.1.3 反证法
第14章 勾股定理
我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c (a
≤ b ≤ c)有关系a2 + b 2 = c 2时，这个三角形一定是直角三角形.那么，如果此时a2 + b 2 ≠ c 2,这个三角形 一定
不是直角三角形.这个命题是真命题吗？
情景导入
画出如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是 否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？
(1)a = 1.0, b =2. 4,c =2.6；
(2)a=2, b =3,c=4；
(3) a = 2, b =2. 5,c =3.
获取新知
我们可以发现,第一组恰好满足a2 +b2= c2,由勾股定理的逆定理可知,组成的三角形是一个直角三角形,与所画图形一致.而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方,所画图形都不是直角三角形.
(1)
(2)
(3)
由此,可以得到什么样猜想呢？
分析：想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发,
直接经过推理,得出结论,十分困难.我们可以换一种思
维方式,用如下方法证明这个结论:
探究： （1）假设它是一个直角三角形;
（2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)有关系a2 +b2≠c2时,这个三角形不是直角三角形.
怎样证明这个猜想是正确的呢？
像这样的证明方法叫“反证法”.
a
b
c
C
A
B
反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证．
反设——归谬——结论，即：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾；
(3)由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立
反证法的定义：
反证法证明命题的一般步骤：
例1 求证:两条直线相交只有一个交点.
已知:两条相交直线l1与l2.
求证: l1与l2只有一个交点.
解：假设两条相交直线 l1与l2不止一个交点， 不妨假设 l1与l2有两个交点A和B.这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
例题讲解
想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理,得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法.
分析
根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
例2 求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证： △ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
解：假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°，
即∠A> 60°， ∠B > 60°， ∠C> 60°.
于是∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°,
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
至少的反面是没有!
运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有：
结论词 是 都是 大(小) 于 能 相等 至少 有一个 至少 有n个 至多 有一个 负数
否定 形式 不是 不都是 不大 (小)于 不能 不相等 一个也 没有 至多有 (n－1)个 至少 有两个 非负数
1.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）
A.有两个内角是直角
B.有三个内角是直角
C.至少有两个内角是直角
D.没有一个内角是直角
C
随堂演练
2. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确的顺序应为( )
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
D
3.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 .
4.已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，要证明这个命题是真命题可用反证法，其步骤为：假设________，根据___________，一定有_______________，但这与已知条件_______________相矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．
假设a=b
∠C=90°
勾股定理
AC2+BC2=AB2
AC2+BC2≠AB2
5.用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角．
已知：在△ABC中 ，AB＝AC，求证：∠B，∠C一定是锐角．
证明：假设∠B，∠C不是锐角，则∠B，∠C是直角或钝角．
解：(1)若∠B，∠C是直角，即∠B＝∠C＝90°，
故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾．
所以∠B，∠C不是直角．
(2)若∠B，∠C是钝角，即∠B＝∠C＞90°，
故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾．
所以∠B，∠C不是钝角．
综上所述，∠B，∠C不是直角，也不是钝角，即∠B，∠C是锐角．
所以等腰三角形的底角一定是锐角．
课堂小结
反证法
反证法的概念
反证法证明的思路：
假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论.
反证法证明步骤(共17张PPT)
14.1 第2课时 直角三角形的判定
第14章 勾股定理
情景导入
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
你想知道这是什么道理吗
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.
同学们，用一把刻度尺你能画出直角吗？古埃及人做到了。你们知道他们用的什么方法吗？
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
(1)a=3,b=4,c=5;
(2)a=4,b=6,c=8;
(3)a=6,b=8,c=10.
可以发现，
按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按（2）所画的三角形不是直角三角形.
获取新知
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
(1)a=3,b=4,c=5;
(2)a=4,b=6,c=8;
(3)a=6,b=8,c=10.
可以发现，
按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按（2）所画的三角形不是直角三角形.
这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
在这三组数据中，（1）、（3）两组数据恰好都满足a2+b2=c2.
对于任意一个三角形，若三边长满足 a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形吗？
(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能说斜边或直角边；
(2)如果三角形的三边长a、b、c满足a2－b2＝c2，那么这个三角形同样是直角三角形，只是这时a为斜边长．
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角
你能给出勾股定理逆定理的证明吗？
已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a +b =c ，
求证：∠C=90°.
证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
则A′B′ =a +b =c ，
即A′B′=c.
在△ABC和△A′B′C′中，
∵BC=a=B′C′，
AC=b=A′C′，
AB=c=A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴∠C=∠C′=90°.
B′
A
B
C
A′
C′
勾股数
(1)勾股数有无数组；
(2)一组勾股数中各数的相同正整数倍得到一组新的勾股数．
如3，4，5是勾股数，则6，8，10和 9，12，15也是勾股数；
即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为大于1的正整数)也是一组勾股数．
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；….
例1 已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1（n为大于1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1
=(n +1)
=AC ，
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
为什么选择AB2 + BC2 ？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
例题讲解
根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.
例2 下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角
B．∠B为直角
C．∠C为直角
D．△ABC不是直角三角形
A
课堂演练
2. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形
(1) a=7，b=25，c=24; (2) a=13，b=11，c=9.
解:(1)最长边为25，
∵a2+c2=72+242
=49+576
=625，
b2=252 =625，
∴以7, 25, 24为边长的
三角形是直角三角形.
(2)最长边为13，
∵b2+c2=112+92
=121+81
=202，
a2=132 =169，
∴b2+c2≠a2.
∴以13, 11, 9为边长的
三角形不是直角三角形.
∴a2+c2=b2.
3. 下面四组数中是勾股数的一组是( )
A．6，7，8 B．5，8，13
C．1.5，2，2.5 D．21，28，35
D
4.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
A
5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 与你的同伴交流.
解:由题意可知△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.
由勾股定理，知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25，
∴BE2+EF2=BF2.
∴ △BEF是直角三角形.
F
A
B
C
D
E
1
3
4
2
2
4
一定是直角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数.
课堂小结
