2021-2022学年四川省内江市东兴区六中八年级（上）开学数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年内江市东兴区六中八年级第一学期开学数学试卷
一、填空题（每小题2分，共24分）
1．4的平方根是（　　）
A．±4 B．±2 C．2 D．﹣2
2．下列说法不正确的是（　　）
A．的平方根是
B．﹣9是81的一个平方根
C．0.2的算术平方根是0.04
D．﹣27的立方根是﹣3
3．下列计算结果正确的是（　　）
A．b2 b3＝b5 B．x3+x3＝x6
C．（﹣2x）3＝﹣6x3 D．5a2﹣3a2＝2
4．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a2b3）÷（﹣2ab）＝a2b2
B．（3x2y﹣6xy）÷6xy＝0.5x
C．（21x5y2﹣9x4y3）÷3x3y2＝7x2﹣3xy
D．（3x2y+xy）÷xy＝3x
5．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
6．已知xm＝a，xn＝b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（　　）
A．3a﹣2b B．a3﹣b2 C．a3b2 D．
7．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3
8．若（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3，则a的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
9．比较2100与375的大小：因为2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725，而16＜27，所以1625＜2725，即2100＜375．据此可知355、444、533的大小关系是（　　）
A．355＜444＜533 B．533＜444＜355
C．444＜533＜355 D．533＜355＜444
10．若a﹣b＝，则a2﹣b2﹣b的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
11．根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
12．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）
A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b
二、填空题（每小题2分，共8分）
13．一个正数的两个平方根分别为3﹣a和2a+1，则这个正数是　 　．
14．分解因式：x3﹣4x2+4x＝　 　．
15．若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝　 　．
16．定义新运算“δ”对于任意实数a，b，都有aδb＝ab﹣b2，如4δ3＝4×3﹣32＝3．若（2x﹣1）δ（2x+1）＝2，则x＝　 　．
三、解答题（共38分）
17．（1）已知x，y，z满足+|x﹣y|+z2﹣z+＝0，求2x﹣y+z的算术平方根．
（2）已知实数a，b，c满足：b＝+4，c的平方根等于它本身．求a+的值．
18．计算：（1）（﹣3a3）2 a3+（﹣4a）2 a7﹣（5a3）3．
（2）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）2，其中ab＝﹣．
19．（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m 16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
20．（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s、t的值取值有无关系；
（2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值；
（3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由是：因为5＝12+22、所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”．请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式　 　．
（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn的值　 　．
探究问题：
（1）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，则x+y的值　 　．
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
参考答案
一、填空题：请将正确答案的序号填入题后括号里。（每小题2分，共24分）
1．4的平方根是（　　）
A．±4 B．±2 C．2 D．﹣2
解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故选：B．
2．下列说法不正确的是（　　）
A．的平方根是
B．﹣9是81的一个平方根
C．0.2的算术平方根是0.04
D．﹣27的立方根是﹣3
解：A、，故A选项正确；
B、＝﹣9，故B选项正确；
C、＝0.2，故C选项错误；
D、＝﹣3，故D选项正确；
故选：C．
3．下列计算结果正确的是（　　）
A．b2 b3＝b5 B．x3+x3＝x6
C．（﹣2x）3＝﹣6x3 D．5a2﹣3a2＝2
解：A、原式＝b5，所以A选项正确；
B、原式＝2x3，所以B选项错误；
C、原式＝﹣8x3，所以C选项错误；
D、原式＝2a3，所以C选项错误．
4．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a2b3）÷（﹣2ab）＝a2b2
B．（3x2y﹣6xy）÷6xy＝0.5x
C．（21x5y2﹣9x4y3）÷3x3y2＝7x2﹣3xy
D．（3x2y+xy）÷xy＝3x
解：A、（﹣2a2b3）÷（﹣2ab）＝ab2，故错误；
B、（3x2y﹣6xy）÷6xy＝x﹣1，故错误；
C、（21x5y2﹣9x4y3）÷3x3y2＝7x2﹣3xy，正确；
D、（3x2y+xy）÷xy＝3x+1，故错误；
故选：C．
5．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选：C．
6．已知xm＝a，xn＝b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（　　）
A．3a﹣2b B．a3﹣b2 C．a3b2 D．
解：∵xm＝a，xn＝b（x≠0），
∴x3m﹣2n＝x3m÷x2n＝．
故选：D．
7．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3
解：∵x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，
∴﹣（m+1）x＝±2×1 x，
解得：m＝1或m＝﹣3．
故选：D．
8．若（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3，则a的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
解：（x﹣3）（2x+1）
＝2x2+x﹣6x﹣3
＝2x2﹣5x﹣3，
∵（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3，
∴a＝﹣5．
故选：B．
9．比较2100与375的大小：因为2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725，而16＜27，所以1625＜2725，即2100＜375．据此可知355、444、533的大小关系是（　　）
A．355＜444＜533 B．533＜444＜355
C．444＜533＜355 D．533＜355＜444
解：因为355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511，
而125＜243＜256，
所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444．
故选：D．
10．若a﹣b＝，则a2﹣b2﹣b的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
解：∵a﹣b＝，
∴a2﹣b2﹣b
＝（a+b）（a﹣b）﹣b
＝（a+b）﹣b
＝（a﹣b）
＝×
＝
故选：B．
11．根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，
故选：A．
12．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）
A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b
解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE AF﹣PC CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3b．
解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，
设向右伸展长度为X，左上阴影增加的是3bX，右下阴影增加的是aX，因为S不变，
∴增加的面积相等，
∴3bX＝aX，
∴a＝3b．
故选：B．
二、填空题（每小题2分，共8分）
13．一个正数的两个平方根分别为3﹣a和2a+1，则这个正数是　49　．
解：根据题意得3﹣a+2a+1＝0，
解得：a＝﹣4，
∴这个正数为（3﹣a）2＝72＝49，
故答案为：49．
14．分解因式：x3﹣4x2+4x＝　x（x﹣2）2　．
解：x3﹣4x2+4x
＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2，
故答案为x（x﹣2）2．
15．若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝　4　．
解：∵m+n＝2，mn＝1，
∴m3n+mn3+2m2n2
＝mn（m2+2mn+n2）
＝mn（m+n）2
＝1×22
＝4．
故答案为：4．
16．定义新运算“δ”对于任意实数a，b，都有aδb＝ab﹣b2，如4δ3＝4×3﹣32＝3．若（2x﹣1）δ（2x+1）＝2，则x＝　﹣1　．
解：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x+1）2＝2，
4x2﹣1﹣（4x2+4x+1）＝2，
4x2﹣1﹣4x2﹣4x﹣1＝2，
﹣4x＝2+1+1，
﹣4x＝4，
x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
三、解答题（共38分）
17．（1）已知x，y，z满足+|x﹣y|+z2﹣z+＝0，求2x﹣y+z的算术平方根．
（2）已知实数a，b，c满足：b＝+4，c的平方根等于它本身．求a+的值．
解：（1）∵+|x﹣y|+z2﹣z+＝0，
∴+|x﹣y|+＝0，
又∵，|x﹣y|≥0，，
∴2y+z＝0，x﹣y＝0，z﹣＝0，
解得：x＝﹣，y＝﹣，z＝，
则2x﹣y+z＝2×（﹣）﹣（﹣）+＝．
所以2x﹣y+z的算术平方根；
（2）∵﹣（a﹣3）2≥0，
∴a＝3，
把a代b＝+4得：b＝4，
∵c的平方根等于它本身，
∴c＝0，
∴a+＝3+＝5．
18．计算：（1）（﹣3a3）2 a3+（﹣4a）2 a7﹣（5a3）3．
（2）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）2，其中ab＝﹣．
解：（1）（﹣3a3）2 a3+（﹣4a）2 a7﹣（5a3）3
＝9a6 a3+16a2 a7﹣125a9
＝9a9+16a9﹣125a9
＝﹣100a9；
（2）（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）2
＝4﹣a2+a2﹣5ab+3a5b3÷（a4b2）
＝4﹣a2+a2﹣5ab+3ab
＝4﹣2ab，
当ab＝﹣时，
原式＝4﹣2×（﹣）
＝4+1
＝5．
19．（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m 16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
解：（1）∵m+4n﹣3＝0
∴m+4n＝3
原式＝2m 24n
＝2m+4n
＝23
＝8．
（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，
＝43﹣2×42，
＝32，
20．（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s、t的值取值有无关系；
（2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值；
（3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
解：（1）代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系．
∵（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）
＝s2+2st+s﹣2ts﹣4t2﹣2t+4t2+2t
＝s2+s，
∴代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系．
（2）（ax﹣b）（2x2﹣x+2）
＝2ax3﹣ax2+2ax﹣2bx2+bx﹣2b
＝2ax3﹣（a+2b）x2+（2a+b）x﹣2b，
∵积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，
∴2a+b＝0，﹣2b＝﹣4，
∴a＝﹣1，b＝2．
ab＝1．
（3）设另一个因式为（x+m）．
根据题意得，（x+m）（2x﹣5）＝2x2+3x﹣k，
x2﹣5x+2mx﹣5m＝2x2+3x﹣k，
x2+（2m﹣5）x﹣5m＝2x2+3x﹣k，
∴2m﹣5＝3，﹣k＝﹣5m，
∴m＝4，k＝20，
∴另一个因式：（x+4），k是20．
21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由是：因为5＝12+22、所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”．请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式　29＝22+52　．
（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn的值　2　．
探究问题：
（1）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，则x+y的值　﹣1　．
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
解：解决问题：
（1）∵29＝52+22，
∴29是“完美数”；
（2）∵x2﹣4x+5＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1，
又x2﹣4x+5＝（x﹣m）2+n，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2×1＝2；
故答案为：（1）29＝52+22；（2）2；
探究问题：
（1）x2+y2﹣2x+4y+5＝0，
x2﹣2x+1+（y2+4y+4）＝0，
（x﹣1）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴x+y＝1﹣2＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）当k＝13时，S是完美数，
理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13
＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9
＝（x+2）2+（2y﹣3）2，
∵x，y是整数，
∴x+2，2y﹣3也是整数，
∴S是一个“完美数”．