2021-2022学年华东师大版数学九年级上册22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课后培优 (word解析版)

5 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．关于x的方程x2﹣（m2﹣1）x+2m＝0的两个根互为相反数，则m的值是（　　）
A．m＝±1 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝0
2．等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k+2＝0的两根，则k的值为（　　）
A．30 B．34或30 C．36或30 D．34
3．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分四边形的对角线，的长度是关于的一元二次方程的两个实数根，则四边形的面积可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程，下列判断正确的是（ ）
A．方程两实数根的和等于3 B．方程两实数根的积等于
C．方程有两个不相等的实数根 D．方程无实数根
5．已知方程的两个根是、，那么这两个根与方程中系数的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．若、是一元二次方程的两个根，且，那么这个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
7．若、是关于x的一元二次方程的两个实数根，，则必有（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的方程有一个根为，则另一根为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
9．设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）．
A．6 B．8 C．14 D．16
10．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解，则另一个解是（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣1
11．设、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．0 B．2020 C．2021 D．2022
12．设方程的两根分别是，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
13．已知x1、x2是一元二次方程的两根，则x1x2＝______．
14．已知a，b是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则a2+b2＝____．
15．已知是方程的一个根，则方程的另一根是__________.
16．设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0两个根，且x1+x2＝4，则x1x2＝___．
17．已知 ， 为一元二次方程 的两根，那么 的值为________.
18．已知方程的两个实数根分别为、，则__．
19．若a，b是方程的两个根，则a2 + b=____．
三、解答题
20．已知关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围：
（2）若方程的两个实数根x1，x2，＝x1x2﹣2，求k的值．
21．若是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知是关于x的一元二次方程x2 2(m+1)x+m2+5=0的两实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
（3）已知等腰三角形的一边长为，若、恰好是另外两边的长，求这个角形的周长．
22．在等腰中，、、的对边分别是、、；已知，、分别是方程的两个根，试求的周长．
23．已知、是方程的两个实根，是否存在常数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
24．已知关于x的方程：x2﹣（6+m）x+9+3m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程都有实数根．
（2）若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长，求m的值．
参考答案
1．B
∵方程的两个根互为相反数，
设这两根是、，
根据根与系数的关系及相反数的定义可知：
，
∴，
当时，原方程为：，方程没有实数根，
∴，
当时，原方程为：，方程有实数根，
∴，
故选：B．
2．D
解：当时，时，
是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，，
是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，
是关于的一元二次方程的两根，
，
，
，
；
故选D．
3．D
解：过点作于，过点作于，如图，
由题意得，，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为菱形，
四边形的面积，
、的长度是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
四边形的面积．
故选：．
4．D
解：∵一元二次方程为，
∴，，，
∴，
∴此方程无实数根，
故选D．
5．D
解：∵方程的两个根是、，
则，
∴，，
故选：D．
6．D
解：设这个一元二次方程为，
∵、是一元二次方程的两个根，且，，
∴，，
∴，，
∴这个一元二次方程为，
故选D．
7．C
解：∵
∵
∵x1，x2是一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2=m-1，x1 x2=n-2，
∵，
∴，，
∴x1+x2=m-1＜0，x2＜0，
∴m＜1，x1 x2＞0，
∴n-2＞0，
∴n＞2，
故选：C
8．A
解：设方程的另一个根为x=m，
则，
解得：，
∴方程的另一个根为x=3，
故选：A．
9．C
解：∵，是一元二次方程的两根，
∴+＝2，＝-5，
∴＝（x1＋x2）2 2＝22 2×（-5）＝14．
故选C
10．C
解：设方程的另一个解为x1，
∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解，
∴﹣1+x1＝﹣3，
∴x1＝﹣2，
故选：C．
11．B
解：∵m、n是方程x2+x-2021=0的两个实数根，
∴m+n=-1，且m2+m-2021=0，
∴m2+m=2021，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021-1=2020．
故选B．
12．A
解：由可知，其二次项系数，一次项系数，
∴，
故选A．
13．－5
解：，是一元二次方程的两根，
∴，
故答案为：－5．
14．7
根据题意得：，ab=1，
则
，
将，ab=1，代入可得：
原式
，
故答案为：7．
15．
解：设方程的另一个根为，
∵是方程的一个根，
∴根据根与系数关系定理，得，
，
故答案为：
16．3
根据题意得，x1+x2＝4
解得m=4,
4-1=3
故答案为：3
17．11
解：∵ ， 为一元二次方程 的两根
∴a+b=-2， ，即
∴ ．
故答案为：11．
18．-5
解：∵方程的两个实数根分别为、，
∴，，
∴，
故答案为：-5．
19．3
解：∵a，b是方程的两个根，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：3．
20．（1）k的取值范围为k≤8；（2）k＝﹣11
解：（1）∵关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．
∴△≥0，即62﹣4×（k+1）≥0，解得k≤8，
∴k的取值范围为k≤8；
（2）∵方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．
∴x1+x2＝6，x1x2＝k+1，
∵，
∴，
∴，即（k+1）2﹣2（k+1）﹣120＝0，
∴k1＝11，k2＝﹣11，
∵k≤8，
∴k＝﹣11．
21．（1）m≥2；（2）m=5；（3）这个角形的周长为17．
解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，
∴Δ≥0，
∴[-2（m+1）]2-4（m2+5）≥0，
解得，m≥2；
（2）∵x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，
又∵（x1-1）（x2-1）=19，
∴x1x2-（x1+x2）+1=19，
∴m2+5-2（m+1）+1=19，
解得m=-3（舍去），m=5，
∴m=5；
（3）当7为底时，
由题意得，Δ=0，得m=2，
则方程为x2 6x+9=0，即(x-3)2=0，
解得：，
即两边长都为3，因为3+3＜7，舍去；
当7为腰时，即方程有一个根为7，
将x=7代入x2 2(m+1)x+m2+5=0，即49 14(m+1)+m2+5=0，
解得m=4或m=10，
当m=10时，方程为x2 22x+105=0，解得，
即三边长为7、7、15，因为7+7＜15（舍去），
当m=4时，方程为x2 10x+21=0，解得，
即三边长为3、7、7，可以构成三角形，
所以周长为3+7+7=17．
22．15
解：∵b、c是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
当a=3为其腰时，则b=a或c=a，
此时三角形三边为3，3，9，
∵，
∴不能构成三角形；
当a=3为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴，
此时三角形三边为6，6，3，周长为，
综上，的周长为15．
23．不存在．理由见解析
解：不存在．
∵、是方程的两个实根，
∴，即，
解得，；
由题意可知，，
∵，
∴，解得，经检验，是原方程的解，
∵，
∴不存在常数k，使成立．
24．（1）见解析；（2）m的值是1．
（1）证明：对于关于x的方程x2-（6+m）x+9+3m=0，
∵，，，
∴=（6+m）2-4（9+3m）=m2≥0，
∴无论m为何值方程都有两个实数根；
（2）解：∵直角三角形的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴AB+AC=m+6，AB AC=9+3m，
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2，
∴（AB+AC）2-2AB AC=BC2，
即（m+6）2-2×（9+3m）=52，
解得：m=-7或m=1，
又∵AB AC=9+3m，m为正数，
∴m的值是1．