2021-2022学年青岛版九年级数学上册第2章解直角三角形 同步达标测评(word版含答案)

2021-2022学年青岛版九年级数学上册《第2章解直角三角形》同步达标测评2（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
3．如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为（　　）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是（　　）
A． B． C． D．3
5．cos30°的相反数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
A．5÷tan26°＝ B．5÷sin26°＝ C．5×cos26°＝ D．5×tan26°＝
7．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（　　）
A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝S2 D．S1＝S2
8．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B． C． D．
9．如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　）
A．5cosa B． C．5sina D．
10．如图，下列角中为俯角的是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
二．填空题（共8小题，满分24分）
11．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是　 　．
12．比较大小：sin44°　 　cos44°（填＞、＜或＝）．
13．已知：tanx＝2，则＝　 　．
14．计算：cot44° cot45° cot46°＝　 　．
15．在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则∠C的度数是　 　．
16．选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）计算：＝　 　．
（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：　 　0．（可用计算器计算）
17．如图，点A（2，2），N（1，0），∠AON＝60°，点M为平面直角坐标系内一点，且MO＝MA，则MN的最小值为　 　．
18．根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的 　 　倍．（结果保留两个有效数字）．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
21．计算：+（）﹣1﹣4cos45°﹣（）0．
22．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cosB＝，AC＝6．求AB的长．
23．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB＝50cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，拉杆拉到最长，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．
（1）求圆形滚轮的半径AD的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
24．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
25．重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD＝5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）
26．如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：根据三角函数的定义：
A、sinA＝，错误；
B、cosB＝，错误；
C、tanA＝，正确；
D、cotB＝，错误．
故选：C．
2．解：∵sin30°＝cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选：C．
3．解：∵α为锐角，，
∴cos（90°﹣α）＝sinα＝．
故选：B．
4．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴cosA＝＝＝，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA＝．
故选：A．
5．解：∵cos30°＝，
∴它的相反数为﹣．
故选：C．
6．解：由tan∠B＝，得
AC＝BC tanB＝5×tan26°．
故选：D．
7．解：作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，
在Rt△ABM中，∵sin∠B＝，
∴AM＝3sin50°，
∴S1＝BC AM＝×7×3sin50°＝sin50°，
在Rt△DEN中，∠DEN＝180°﹣130°＝50°，
∵sin∠DEN＝，
∴DN＝7sin50°，
∴S2＝EF DN＝×3×7sin50°＝sin50°，
∴S1＝S2．
故选：D．
8．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG＝∠HEF＝90°，
∵∠AEF＝143°，
∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°，
∠EAH＝37°，
在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米，
∴EH＝AE sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72（米），
∵AB＝1.2米，
∴AB+EH≈1.2+0.72＝1.92≈1.9米．
故选：A．
9．解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，坡角为α，
则两树在坡面上的距离AB＝．
故选：B．
10．解：根据俯角的定义，首先确定水平线，水平线以下与视线的夹角，即是俯角．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分）
11．解：连接AC，
由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC＝90°，
根据勾股定理得，AC＝，AB＝2，
则tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
12．解：∵cos44°＝sin46°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵44°＜46°，
∴sin44°＜cos44°．
故答案为：＜．
13．解：分子分母同时除以cosx，原分式可化为：，
当tanx＝2时，原式＝＝．
故答案为：．
14．解：cot44° cot45° cot46°＝cot44° cot46° cot45°＝1 cot45°＝1．
15．解：∵在△ABC中，|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
故答案为：90°．
16．解：（Ⅰ）sin60° cos30°﹣＝ ﹣＝﹣＝．
（Ⅱ）sin50°cos40°﹣≈0.0868＞0．
故答案为：（Ⅰ）．
（Ⅱ）＞．
17．解：如图，过点A作AB⊥x轴，
则OB＝2、AB＝2，
∴OA＝＝＝4，
∵cos∠AOB＝＝＝，
∴∠AOB＝60°，
作AO的中垂线交x轴于点P，交OA于点Q，
则OQ＝AQ＝2，
∴OP＝＝4，
∵N（1，0），
∴PN＝3，
∵MO＝MA，
∴点M在PQ上，
当MN⊥PQ时，MN最小，
∵PQ⊥OA、PQ⊥MN，
∴MN＝，
故答案为：．
18．解：如图，根据题意设光速为tm/s，
则一秒内，m与l移动的距离为0.2tm，
过A'作CA'⊥AC于A'，
在Rt△ACA'中，∠A'AC1＝10°÷2＝5°，A'C＝0.2tm，
∴AA'＝CA'÷sin5°≈2.3，
∴A移动的距离约为2.3tm；
故交点A的移动速度是光速的2.3倍．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．证明：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AD＝ABsinB，
在Rt△ADC中，sinC＝，
∴AD＝ACsinC，
∴ABsinB＝ACsinC，
而AB＝c，AC＝b，
∴csinB＝bsinC，
∴＝．
20．解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
21．解：原式＝2+2﹣4×﹣1，
＝2+2﹣2﹣1，
＝1．
故答案为：1．
22．解：过点C作CD⊥AB于点D．
∵∠A＝30°，
∴CD＝AC＝3，AD＝AC cosA＝9，
∵cosB＝，
∴设BD＝4x，则BC＝5x，
由勾股定理得，CD＝3x，
由题意的，3x＝3，
解得，x＝，
∴BD＝4，
∴AB＝AD+BD＝9+4．
23．解：（1）作BH⊥AF于点G，交DM于点H．
则BG∥CF
设圆形滚轮的半径AD的长是xcm．
则＝，即＝，
解得：x＝8．
则圆形滚轮的半径AD的长是8cm；
（2）CF＝73.5﹣8＝65.5（Cm）．
则sin∠CAF＝＝≈0.77，
则∠CAF＝50°．
24．解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，
设AH＝5km，则PH＝12km，
由勾股定理，得AP＝13km．
∴13k＝26． 解得k＝2．
∴AH＝10（m）．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．
（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD．
设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.0，
解得x＝，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．
25．解：（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG＝DF＝5米，
∵AB＝13米，
∴AG＝＝12米，
∴AB的坡度i＝＝1：2.4；
（2）在Rt△BCF中，BF＝＝，
在Rt△CEF中，EF＝＝，
∵BE＝4米，
∴BF﹣EF═﹣＝4，
解得：CF＝16．
∴DC＝CF+DF＝16+5＝21米．
26．解：过P作PB⊥AM于B，
在Rt△APB中，∵∠PAB＝30°，
∴PB＝AP＝×32＝16海里，
∵16＜16，
故轮船有触礁危险．
为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16海里，即这个距离至少为16海里，
设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，
由题意得，AP＝32海里，PD＝16海里，
∵sin∠PAC＝＝＝，
∴在Rt△PAD中，∠PAC＝45°，
∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝45°﹣30°＝15°．
答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行，才能安全通过这一海域．