2.4线段的垂直平分线 能力达标训练 2021-2022学年青岛版八年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年青岛版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》能力达标训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（　　）
A．130° B．95° C．90° D．85°
3．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（　　）
A．38° B．40° C．42° D．44°
4．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点
5．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）
A．40° B．70° C．30° D．50°
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝4AD，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　）
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，PQ垂直平分BC，与AC交于点P，下列结论正确的是（　　）
A．PC＜2PA B．PC＞2PA C．AB＜2PA D．AB＞2PA
9．如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交于点O．若∠BOC＝148°，则∠BIC＝（　　）
A．120° B．125° C．127° D．132°
10．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12，CF＝3，则AC＝　 　．
11．如图，ED为△ABC的边AC上的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为9，则BC＝　 　．
12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，已知∠B＝50°，则∠CAF的度数为　 　．
13．如图．AB＝AC，MB＝MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．
14．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．
15．如图，点B，E关于y轴对称，且E在AC的垂直平分线上，已知点C（5，0）．
（1）如果∠BAE＝40°，那么∠C＝　 　°；
（2）如果△ABC的周长为16cm，AC＝6cm，那么△ABE的周长＝　 　cm；
（3）AB+BO＝　 　．
16．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
17．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
18．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F
（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
19．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：
（1）∠EAD＝∠EDA；
（2）DF∥AC；
（3）∠EAC＝∠B．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．
（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝　 　度；
（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝　 　度；
（3）如图（3），若∠A＝120°，则∠NMB＝　 　度；
（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．
22．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点．
（1）若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．
参考答案
1．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
由题意得，BC+CE+BE＝18，
则BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，
∴AC＝10，
故选：B．
2．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠BDA＝50°，
∴∠DAC＝∠BDA＝25°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°
故选：B．
3．解：∵∠BAC＝112°，
∴∠C+∠B＝68°，
∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EB＝EA，FC＝FA，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝68°，
∴∠EAF＝44°，
故选：D．
4．解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，
∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
5．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°，
故选：C．
6．解：如图，∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠2＝∠C，
∴BE＝CE，
∵AC﹣CE＝AE，
∴AC﹣BE＝AE，故①正确；
∵BE＝CE，
∴点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确；
∵∠1＝∠2＝∠C，
∴∠C＝∠1＝30°，
∴∠AEB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠C，故③正确；
在Rt△BAC中，∠C＝30°，
∴BC＝2AB，
在Rt△BDA中，∠1＝30°，
∴AB＝2AD，
∴BC＝4AD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：D．
7．解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
8．解：连接BP，
∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵PQ垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠C＝30°，
∴∠ABP＝30°，
∴AP＝BP＝PC，
∴PC＝2PA，故A、B选项错误；
∵∠A＝90°，
∴AB＜PB＜2PA，
∴C正确，D错误；
故选：C．
9．解：连接OA，
∵∠BOC＝148°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝32°，
∵O是三边的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠OBA+∠OCA＝（180°﹣32°）÷2＝74°，
∴∠ABC+∠ACB＝74°+32°＝106°，
∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠BIC＝180°﹣∠IBC﹣∠ICB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝127°，
故选：C．
10．解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA＝BF＝12，
∴AC＝AF+FC＝15．
故答案为：15．
11．解：∵ED为AC上的垂直平分线
∴AE＝CE
∵AB＝AE+BE＝5，△BCE的周长＝AE+BE+BC＝AB+BC＝9
∴BC＝9﹣5＝4．
12．解：∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠B＝50°．
故答案为：50°．
13．证明：∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∵BM＝CM，
∴点M在BC的垂直平分线上，
∴直线AM是BC的垂直平分线．
14．（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵∠A＝46°，
∴∠ABE＝∠A＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，
∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．
15．解：（1）∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝EC．
∵BO＝OE，AO⊥BC，
∴AB＝AE．
∴∠ABE＝∠AEB＝2∠C＝（180°﹣40°）÷2＝140°÷2＝70°，∠C＝35°．
（2）∵△ABC的周长为16cm，AC＝6cm，
∴AB+BC＝16﹣6＝10，
∴△ABE的周长＝AB+BC＝10cm．
（3）AB+BO＝OC．
证明：由（1）可知，AB＝AE＝CE，BO＝OE，
∴AB+BO＝EC+OE＝OC．
16．解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝7cm，
即2DE+2EC＝7cm，
∴DE+EC＝DC＝3.5cm．
17．解：
18．解：（1）∵DM是AC边的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∵EN是BC边的垂直平分线，
∴NB＝NC，
AB＝AM+MN+NB＝MC+MN+NC＝△CMN的周长＝20cm；
（2）∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠ACB＝180°﹣∠MFN＝110°，
∴∠A+∠B＝70°，
∵MA＝MC，NB＝NC，
∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，
∴∠MCN＝40°．
19．解：（1）如图，
∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC，
∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE＝6cm，
∴BC＝6cm；
（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴OA＝OC＝OB，
∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC＝16，
∴OC+OB＝16﹣6＝10cm，
∴OC＝5cm，
∴OA＝OC＝OB＝5cm．
20．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD是∠BAC平分线，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠B．
21．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝20°，
故答案为20．
（2）如图2中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣70°）＝55°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝35°，
故答案为35．
（3）如图3中，
如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣120°）＝30°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝60°，
故答案为60．
（4）结论：∠NMB＝∠A．
理由：如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A．
22．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；
（3）当α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°