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考点12 函数的应用（一）
一、单选题
1．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x（km） 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 …
邮资y（元） 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是（ ）
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．8.00元
【答案】C
【解析】通过邮资标准表可得到，当x＝1 200时，y＝7.00元.故选C.
2．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设有，由得，故选A.
3．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
【答案】C
【解析】该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，解得x≥600．
∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本．故选C．
4．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为(万元)，一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为（ ）
A．139万元 B．149万元 C．159万元 D．169万元
【答案】C
【解析】利润，故最大利润为159万元，故选C.
5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设一段长为，则另一段长为，两个正三角形的面积之和为，
且 ，.则，
所以当时，.故选D.
6．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个商品的售价应定为（ ）
A．95元 B．100元 C．105元 D．110元
【答案】A
【解析】设售价在90元的基础上涨元
因为这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，所以若涨元，则销售量减少，按90元一个能全部售出，则按元售出时，能售出个，每个的利润是元
设总利润为元，则，对称轴为
所以时，有最大值，售价则为95元，
所以售价定为每个95元时，利润最大．故选．
7．已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足．则求该城市旅游日收益的最小值是（ ）
A．480 B．120 C．441 D．141
【答案】C
【解析】记旅游日收益为，当时，,，
所以，
所以，取等号时；
当时，，，
所以，显然在上单调递减，
所以，
由上可知：旅游日收益的最小值为万元，故选C.
8．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】C
【解析】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，
所以，得．
又由知，，所以当时，，故选C．
二、多选题
9．某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】BC
【解析】依题意可知，要使该杂志销售收入不少于万元，只能提高销售价，
设每册杂志定价为元，则发行量为万册，
则该杂志销售收入为万元，
所以，化简得，解得，故选BC.
10．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（ ）
A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值
C．最小值为万元 D．最小值为万元
【答案】BD
【解析】一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，运费是9万元/次，
一年的总储存费用为万元，
所以一年的总运费与总储存费用之和为，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，一年的总运费与总储存费用之和最小为万元，故选BD.
11．在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是.
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
【答案】BD
【解析】由该车间持续5个小时的生产总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，得：前3小时的产量逐步减少，故A错，B正确；
后2小时均没有生产，故C错，D正确．
故选BD.
12．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，点横坐标为12，点坐标为点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）
A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．点的横坐标是200 D．的最大值是216
【答案】ACD
【解析】根据题意，甲一共加工的时间为分钟，
一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确，
设的坐标为，在区间和，20 上，都是乙在加工，则直线和的斜率相等，
则有，在区间和上，甲乙同时加工，同理可得，
则，则有，解可得；即点的坐标是，所以选项C正确；
由题得乙每分钟加工的零件数为个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，
在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；
当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.
故选ACD.
三、填空题
13．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
【答案】2250
【解析】设彩电的原价为a元，∴a(1＋40%)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250.
∴每台彩电的原价为2 250元.故答案为：2250.
14．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润与营运年数为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．
【答案】7
【解析】设二次函数y=a(x-6)2+11，又过点(4，7)，所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.
解y≥0，得6-≤x≤6+，
所以有营运利润的时间为2.
又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年.故答案为：7
15．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．
【答案】1120
【解析】由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，y
∵y＝30＞25，∴x＞1100，∴0.1（x﹣1100）+25＝30，解得，x＝1150，
1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元．
16．某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是___.
【答案】200
【解析】由题意，时，，
时，；
时，，
天时，总利润最大为10000元，故答案为：200．
17．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】130. 15.
【解析】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
四、解答题
18．某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．
（1）试用销售单价表示利润；
（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
【解析】（1）
.
（2），
∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．
19．用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段.每次漂洗都经历放水、漂洗、甩干三个过程.每次漂洗时，衣服的残留物都能均匀溶于水，在甩干时也能被均匀甩出，并且每次甩干后重量（残留物和水分重量总和）不变.假设衣服在洗涤并甩干后，残留物与水分共有千克，其中水分占.
（1）求第一次漂洗后剩余残留物与这次漂洗放入水的重量的函数关系式；
（2）若进行两次漂洗，加入水总重量为千克，求剩余残留物的最小值.
【解析】（1）由题知：，即；
（2）设第一次漂洗后残留物为，第一次加入水量为，第二次加入的水量为
则有，
，即，
，即，
，
当且仅当时，等号成立，故二次漂洗后残留物的最小值为
20．近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R(x)万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润W(x)（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）当时，；
当时，，
．
（2）若，，
当时，万元．
若，，
当且仅当时，即时，万元．
2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．
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考点12 函数的应用（一）
一、单选题
1．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x（km） 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 …
邮资y（元） 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是（ ）
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．8.00元
2．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
3．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
4．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为(万元)，一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为（ ）
A．139万元 B．149万元 C．159万元 D．169万元
5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个商品的售价应定为（ ）
A．95元 B．100元 C．105元 D．110元
7．已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足．则求该城市旅游日收益的最小值是（ ）
A．480 B．120 C．441 D．141
8．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
二、多选题
9．某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
10．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（ ）
A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值
C．最小值为万元 D．最小值为万元
11．在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是.
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
12．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，点横坐标为12，点坐标为点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）
A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．点的横坐标是200 D．的最大值是216
三、填空题
13．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
14．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润与营运年数为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．
15．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．
16．某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是___.
17．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
四、解答题
18．某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．
（1）试用销售单价表示利润；
（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
19．用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段.每次漂洗都经历放水、漂洗、甩干三个过程.每次漂洗时，衣服的残留物都能均匀溶于水，在甩干时也能被均匀甩出，并且每次甩干后重量（残留物和水分重量总和）不变.假设衣服在洗涤并甩干后，残留物与水分共有千克，其中水分占.
（1）求第一次漂洗后剩余残留物与这次漂洗放入水的重量的函数关系式；
（2）若进行两次漂洗，加入水总重量为千克，求剩余残留物的最小值.
20．近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R(x)万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润W(x)（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
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