4.4.3 不同函数增长的差异（教案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
教学设计
一、教学目标
1.结合具体函数图像，总结一次函数、指数函数、对数函数的增长差异.
2.通过图像，了解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
二、教学重难点
1.教学重点
研究一次函数、指数函数、对数函数的增长差异.
2.教学难点
函数增长快慢的因素.
三、教学过程
（一）探究一：一次函数与指数函数增长的差异
以函数和为例.画出两个函数的图像，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.
x
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
…. …. ….
在同一直角坐标系中画出函数图像如下：
虽然函数和在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”.随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，尽管在x的一定变化范围内，会小于2x，但由于的增长最终会快于的增长，于是，总会存在一个x0,当x﹥ x0时，恒有﹥2x.
总结一次函数和指数函数增长方式的差异：
一般地，指数函数（a>1）与一次函数y=kx（k>0）的增长差异都与上述情况类似.即使k的值远远大于a的值，（a> 1）的增长速度最终都会大大超过y=kx（k>0）的增长速度.
探究二：一次函数与对数函数增长的差异
以函数和为例.画出两个函数的图像，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.
学生填表：
x
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
…. …. ….
在同一直角坐标系中画出函数图像如下：
观察研究函数和的增长快慢.
虽然函数和在区间上都单调递增，但它们的增长速度存在明显差异，函数的增长速度不变，而的增长速度在变化.随着x的增大，函数的图像越来越平缓，像与x轴平行一样.函数的图像离x轴越来越远.
总结一次函数和对数函数增长方式的差异：
一般地，虽然对数函数（a>1）与一次函数y=kx（k>0）在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同. 随着x的增大，一次函数y=kx（k>0）保持着固定的增长速度，而对数函数（a>1）的增长速度越来越慢，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，可能会大于kx，但是由于的增长慢于kx的增长，于是，总会存在一个x0,当x﹥ x0时，恒有﹤kx.
（二）课堂练习
1.下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：对于D，一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.故选B.
2.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.
3.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断最可能的函数模型是( )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型
答案：A
解析：自变量x每增加1，函数值y增加2，函数值的增量是均匀的,故为线性函数，即最可能的函数模型是一次函数模型. 故选A.
4.物价上涨是当前的热门话题，特别是菜价，我国某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高知，函数增长的速度越来越快,故函数的图象应一直是下凸的，故选B.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1.指数函数与一次函数增长方式的差异.
2. 对数函数与一次函数增长方式的差异.
四、板书设计
1.指数函数与一次函数增长方式的差异.
2. 对数函数与一次函数增长方式的差异.