4.4.3 不同函数增长的差异（学案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

第四章 指数函数与对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
学案
一、学习目标
1.结合具体函数图像，总结一次函数、指数函数、对数函数的增长差异.
2.通过图像，了解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义. 二、基础梳理
1.三种函数模型的性质.
函数 性质
在 的增减性 增函数 增函数 增函数
图像的变化 随x的增大逐渐变陡 随x的增大逐渐趋于稳定 随k值而不同
2.三种函数模型的增长速度比较.
（1）对于指数函数（a>1）与一次函数y=kx（k>0）在区间上，不论k的值比a的值大多少，尽管在x的一定范围内，会小于kx，但由于的增长会快于的增长，于是，总会存在一个x0,当x﹥ x0时，就会有＞.
（2）对数函数（a>1）与一次函数y=kx（k>0）在区间上，尽管在x的一定范围内，可能会大于kx，但由于的增长会慢于的增长，于是，总会存在一个x0,当x﹥ x0时，就会有 ﹤.
三、巩固练习
1.据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y（万人）关于月数x的函数关系式近似是( )
A. B. C. D.
2.2020年7月31日上午，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平宣布北斗三号全球卫星导航系统正式开通并提出“新时代北斗精神”.已知组成北斗三号全球卫星导航系统的卫星中包含地球静止轨道卫星，它的运行轨道为圆形轨道，角速度约为15度/时，若将卫星抽象为质点，以地球球心为原点，在卫星运行轨道所在平面建立平面直角坐标系，则以下函数模型中最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是( )
A.指数函数模型 B.对数函数模型 C.幂函数模型 D.三角函数模型
3.2020年3月,国内新冠肺炎疫情得到有效控制,人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客,推出团体购票优惠方案,如表:
购票人数 1~50 51~100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
两个旅游团队计划游览该景点,若分别购票,则共需支付门票费1 290元;若合并成一个团队购票,则需支付门票费990元.那么这两个旅游团队的人数之差为( )
A.20 B.30 C.35 D.40
4.今有一组实验数据如下表所示：
2 3 4 5 6
1.40 2.56 5.31 11 21.30
则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )
A． B． C． D．
5.某数学小组进行社会实践调查,了解到某公司为了实现1 000万元利润的目标,制订了激励销售人员的奖励方案:当某销售人员销售利润超过10万元时,其奖金(单位:万元)随其销售利润(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识,设计了如下的函数模型,其中符合公司要求的是(参考数据:)( )
A. B. C. D.
6.对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据:.下列函数模型中拟合效果较好的是( )
A. B. C. D.
7.衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金（单位：万元）随经营利润（单位：万元）的增加二增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%．下列函数模型中，符合该点要求的是( )
（参考数据：）
A． B． C． D．
8.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A． B．
C． D．
参考答案
巩固练习
1.答案：C
解析：对于A，当时，，与0.76差距较大，故排除A；对于B，当时，，与0.76差距较大，故排除B；对于D，当时，，与0.76差距较大,故排除D.故选C.
2.答案：D
解析：本题考查函数模型的实际应用.如图，不妨设卫星与地球球心的距离为R，卫星运行方向为逆时针，初始位置在点处，与x轴正半轴的夹角为经过t小时后，卫星在点P处，则OP与x轴正半轴的夹角为则点P的纵坐标所以最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是三角函数模型.故选D.
3.答案：B
解析：设两个旅游团队的人数分别为,且,因为990不能被13整除,所以两个旅游团队的人数之和.若,则,得,由分别购票共需支付门票费1 290元可知,,得,所以,不符合题意;若,则,得,由分别购票共需支付门票费1 290元可知,,得,所以.所以这两个旅游团队的人数之差为.故选B.
4.答案：A
解析：把的值分别代入中，基本成立，故A能最佳体现这些数据关系；
把的值分别代入中，不成立，故B不能最佳体现这些数据关系；
把的值分别代入中，不成立，故C不能最佳体现这些数据关系；
把的值分别代入中，不成立，故D不能最佳体现这些数据关系。
故选A.
5.答案：C
解析：由题意得,符合公司要求的函数模型应满足:当时,①函数为增函数;②;③.对于选项A,满足条件①,但当时,不满足条件②,所以选项A不符合题意;对于选项B,满足条件①,但当时,,因而不符合条件②,所以选项B不符合题意;对于选项C,满足条件①,当时,,所以满足条件②,且在上恒成立,所以满足条件③,故选项C符合题意;对于选项D,不满足条件①,所以选项D不符合题意.故选C.
6.答案：D
解析：如图,作出A,B,C,D选项中函数的图象,同时描出题中给出的四个点,由图可知它们在曲线的附近,与其他三个曲线都离得很远,因此D是正确选项,故选D.
7.答案：D
解析：对于函数：，当时，不合题意；
对于函数：，当时，不合题意；
对于函数：，不满足递增，不合题意；
对于函数：，满足：，增函数，
且，结合图象：
符合题意，故选D．
8.答案：C
解析：对于A中的函数，当或4时，误差较大。对于B中的函数，当或4时误差也较大。
对于C中的函数，当，2，3时，误差为0，时，误差为10，误差很小。
对于D中的函数，当时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远。
综上，只有C中的函数误差最小，
故选C.