2.4线段的垂直平分线 优生辅导训练 2021-2022学年湘教版八年级数学上册(word版含答案)

2021-2022学年湘教版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》优生辅导训练（附答案）
1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，连接CF，若∠DFC＝60°，∠ACF＝40°，则∠A的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．13
3．如图△ABC中，AC＝12，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为20，则BC的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（　　）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
5．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　）
A．168° B．158° C．128° D．118°
6．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC＝　 　．
8．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为　 　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC＝3，则DE的长为　 　．
10．如图在△ABC中MP，NQ分别垂直平分AB、AC，若BC的长度为9，则△APQ的周长是　 　．
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为　 　．
12．如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，若∠O+∠E＝180°，则∠A＝　 　度．
13．如图，DE是AB的垂直平分线．
（1）已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长　 　
（2）若AD平分∠BAC，AD＝AC，则∠C＝　 　
14．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∠BAC＝128°，∠EAG＝　 　°．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠A＝50°，AB+BC＝6，则△BCF的周长＝　 　，∠EFC＝　 　度．
16．在△ABC中，DE垂直平分线段AB，交AB于E，交AC于D，已知AC＝16，△BCD的周长为25，则BC＝　 　．
17．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．
（1）如果∠BAE＝40°，那么∠B＝　 　°，∠C＝　 　°；
（2）如果△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，那么△ABE的周长＝　 　cm；
（3）你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论．
18．如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC＝80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．
19．如图，△ABC中，∠BAC＝110°，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，
求∠DAF．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．
求证：MN与PQ互相垂直平分．
参考答案
1．解：∵E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，
∴FE垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∵∠CFD＝∠FBC+∠FCB＝60°，
∴∠FBC＝∠FCB＝30°，
∵∠ACF＝40°，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠FBC＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，
故选：B．
2．解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故选：D．
3．解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为20，
∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝20cm，
∵AC＝12，
∴BC＝8．
故选：B．
4．解：∵DG是AB的垂直平分线，
∴GA＝GB，
∵△AGC的周长为31cm，
∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，
故选：C．
5．解：如图，连接CE，
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA＝CB，CE＝CD，
∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠ECD＝36°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠AEC＝∠BDC，
设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，
∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，
∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，
故选：C．
6．解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB＝（AC PN）：（AB PM）＝AC：AB；故②正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．
故选：D．
7．解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA＝BF＝10，
∴AC＝AF+FC＝12．
故答案为：12．
8．解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝28°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣28°＝97°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝28°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝97°﹣28°＝69°．
故答案为：69°．
9．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB，
∴∠B＝30°，
∴DE＝BD，
∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∴DC＝BD，
∴DC＝1，即DE＝1，
故答案为：1．
10．解：∵在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB、AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∵BC＝9，
∴△APQ的周长是AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC＝9，
故答案为：9．
11．解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵∠C＝25°，
∴∠DAC＝25°，
∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°，
故答案为：70°．
12．解：如图，连接OA．
∵点O是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∵∠BOC＝∠ABO+∠OCA+∠BAC＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC，
∵点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴∠E＝90°+∠BAC，
∵∠BOC+∠E＝180°，
∴2∠BAC+90°+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝36°，
故答案为36．
13．解：（1）∵DE垂直平分线线段AB，
∴DA＝DB，
∵AD+CD+AC＝17，AC＝5，
∴BD+CD+AC＝17，
∴BC+AC＝17，
∴BC＝17﹣5＝12cm，
故答案为12cm．
（2）设∠DAB＝∠DAC＝x，
∵DA＝DB，
∴∠DBA＝∠DAB＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，
∵AD＝AC，
∴∠C＝∠ADC＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠C＝72°，
故答案为72°．
14．解：∵∠BAC＝128°，
∴∠A+∠B＝180°﹣128°＝52°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠A+∠B＝52°，
∴∠EAG＝128°﹣52°＝76°，
故答案为：76．
15．解：如图：已知DF垂直且平分AB AF＝BF，AD＝BD，∠A＝∠ABF＝50°，∠ADF＝90°
∠EFC＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝40°（对角相等）
因为AB+BC＝6，AB＝AC＝BF+FC
故周长△BCF＝FC+BF+BC＝6．
故填6；40°．
16．解：∵DE垂直平分线段AB，
∴AD＝BD，
∵△BCD的周长为25，
∴BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝25，
∵AC＝16，
∴BC＝9．
故答案为：9．
17．（1）解：∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝EC．
∵BD＝DE，AD⊥BC，
∴AB＝AE．
∴∠ABE＝∠AEB＝2∠C＝（180°﹣40°）÷2＝140°÷2＝70°，∠C＝35°．
故答案为：70，35；
（2）解：∵△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，
∴AB+BC＝13﹣6＝7，
∴△ABE的周长＝AB+BC＝7cm．
故答案为：7；
（3）AB+BD＝DC．
证明：∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，BD＝DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴AB+BD＝AE+DE＝DC．
18．解：在△ABC中，∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得∠CAF＝∠C，
∴∠EAF＝∠BAE+∠CAF﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝20°．
19．解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，
∴AD＝BD，AF＝CF，
∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，
∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝110°﹣70°＝40°．
20．证明：连接MP，PN，NQ，QM，
∵AM＝MD，BP＝PD，
∴PM＝AB，
∴PM是△ABD的中位线，
∴PM∥AB；
同理NQ＝AB，NQ∥AB，MQ＝DC，
∴PM＝NQ，且PM∥NQ．
∴四边形MPNQ是平行四边形．
又∵AB＝DC，∴PM＝MQ，
∴平行四边形MPNQ是菱形．
∴MN与PQ互相垂直平分．