2.5等腰三角形的判定与性质靶向训练2021-2022学年八年级上册数学 苏科版 (word版含答案)

2.5等腰三角形的判定与性质
考点一、等腰三角形的边与角的计算
如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______。
等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是______．
已知等腰三角形中有一个内角为，则该等腰三角形的底角为______．
已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为______．
一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是 ．
已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为______．
考点二、等腰三角形的性质
如图，在等腰三角形ABC中，，AD是边BC上的高，E是AD上一点．
求证：是等腰三角形；
若，，E是AD的中点，求的周长．
如图，已知D是等腰三角形ABC底边BC上一点，它到两腰AB，AC的距离分别为DE，DF．
当点D在什么位置时，？并加以证明．
探索DE，DF与等腰三角形ABC的高的关系．说明理由．
我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形
如图，在中，，过B作一直线交AC于D，若BD把分割成两个等腰三角形，则的度数是________．
已知在中，，过顶点和顶点对边上一点的直线，把分割成两个等腰三角形，则的最小度数为________．
如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF交AB于点G，求证：G为AB的中点．
如图，在中，，D是BC的中点，于点E，于点F．
求证：；
如果，，求DE的长．
如图，中，，点E，F在边BC上，，点D在AF的延长线上，．
求证：≌；
若，则________．
考点三、等腰三角形的判定
如图，AD平分，，垂足为点D，．
求证：是等腰三角形．
已知：如图，中，，于D，BE平分，且于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．
求证：；
求证：．
如图，在中，，，BD是的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
；
为等腰三角形．
如图，CD是的高，，的平分线CE交AB于点E，设
求的度数用含的代数式表示；
求证：；
将沿直线BC折叠得到，连接AF、EF，若，求证：．
如图，在中，AD平分，交BC于点D．
尺规作图：作BE平分，分别交AC，AD于点E，I；
保留作图痕迹，不必写出作法
在的条件下，求证：点I在的平分线上；
若，，过点B作，垂足为点F，请画出符合条件的图形，猜想BF和AD的数量关系，并证明你的结论．
如图，在中，，D在边AC上，且．
如图1，填空______，______
如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线于H，分别交直线AB、BC与点N、E．
求证：是等腰三角形；
试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】17
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形。
【解答】
解：分两种情况讨论：
若3为腰长，7为底边长，
由于，则三角形不存在；
若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
所以这个三角形的周长为：。
故答案为17。
2.【答案】
【解析】解：，
的角是顶角，
故答案为：．
根据角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出的角是顶角是解题的关键．
3.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
【解答】
解：分两种情况：
当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数；
当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角度数是或．
故答案为或
4.【答案】或
【解析】解：当为顶角时，其他两角都为、，
当为底角时，其他两角为、，
所以等腰三角形的顶角为或．
故答案为：或．
等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．
5.【答案】16或17
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．
由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：当等腰三角形的腰为当等腰三角形的腰为两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】
解：当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为；
当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为；
故这个等腰三角形的周长是16或17．
故答案为：16或17．
6.【答案】或
【解析】解：如图，
，，
，
，
；
如图，
，，
，
，
，
；
综上所述，它的顶角度数为：或．
故答案为：或．
分别从是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
7.【答案】在等腰三角形ABC中，，AD是边BC上的高，
．
垂直平分BC，
，即是等腰三角形；
是等腰三角形ABC的底边上的高，，
．
，
，
是AD的中点，
，
，
的周长是．
【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理及线段的垂直平分线的判定与性质，熟练掌握各定理的应用是解题关键．
根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分的性质得到，即可得证；
根据等腰三角形的性质得到CD的长，根据勾股定理得到AD的长，再根据勾股定理得到BE的长，即可得到的周长．
8.【答案】解：为中点时，，
理由是：如图，连接AD，
，D为BC中点，
平分，
，，
．
的长为腰上的高的长，
理由是：连接AD，过C作于M，
，
，
，
，
即的长为腰上的高的长．
【解析】本题考查了角平分线性质，等腰三角形性质，三角形面积的应用，题目具有一定的代表性，难度适中．
连接AD，根据三线合一定理求出AD平分，根据角平分线性质求出即可．
连接AD，过C作于M，根据三角形面积公式求出即可．
9.【答案】；
．
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，注意分类讨论．
由可得，再根据三角形的内角和解答即可；
可分四种情况，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理分别计算，即可求解的最小值．
【解答】
解：根据题意得，
，
．
故答案为；
如图1，，当，，
，
，
，
．
如图2，，，，
，，
，
，
，
，
．
如图3，，，
，，，
，
，
，
，
．
如图4，，，，
，，，
，
，
，
，
．
综上所述，的最小度数为．
10.【答案】证明：，
，
和为等边三角形，
，
，
．
在和中，
≌，
，
即CF平分，
又，
，
即G为AB的中点．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质，证明三角形全等是解题的关键．
证明≌，可得，根据等腰三角形的性质即可解题．
11.【答案】解：证明：连接AD，如图，
，点D是BC边上的中点，
平分，
、DF分别垂直AB、AC于点E和F，
，点D是BC边上的中点，，
，
，
．
【解析】本题考查的是等腰三角形的性质、角平分线的性质、三角形的面积解题关键在于熟知等腰三角形三线合一的性质．
根据等腰三角形三线合一的特性，可得出AD也是的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等的性质即可得出答案
根据三角形中线的性质和三角形的面积解答即可得出答案．
12.【答案】解：，
，
在和中，
，
≌；
．
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
要证明≌，由题意可得，，，从而可以证明结论成立；
根据中的结论和等腰三角形的性质可以求得的度数．
【解答】
解：见答案；
≌，，
，
，
，
，
故答案为75．
13.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形．
【解析】直接利用平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出是解题关键．
14.【答案】证明：，，
是等腰直角三角形．
．
，，且，
．
在和中，
，
≌，
．
证明：平分，
．
在和中，
，
≌．
，
又，
．
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出≌和≌，题目综合性比较强．
根据三角形的内角和定理求出，推出，根据AAS证出≌即可；
推出，，根据ASA证出≌，推出即可．
15.【答案】证明：，，
，
又是的平分线，
，
，
，
又是AB的中点，
，即；
，，
垂直平分AB，
，
，
又，
，
又，
，
，
，即为等腰三角形．
【解析】依据，，可得，再根据BD是的平分线，即可得到，由，可得，依据E是AB的中点，即可得到；
依据，，可得FE垂直平分AB，进而得出，依据，即可得到，再根据，可得，进而得到．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
16.【答案】解：，，
，
平分，
，
是高，
，
．
证明：如图，在AD上截取，连接CH，
，
，
，，
，
，
，
；
如图，设EF交BC于点O，
，
，，
折叠的对称性，且E点的对称点为F点，
，，，
，
，解得，
由得，
，
，
，
，
，，
在中，，
由得，
．
【解析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，折叠与对称，关键是掌握三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确应用有关性质即可解答．
根据角平分线的定义，三角形的内角和定理用含有的代数式分别表示、、、即可解答；
在AD上截取，连接CH，先根据等腰三角形的性质用含有的代数式分别表示、、、、得，再根据等腰三角形的判定和性质即可解答；
设EF交BC于点O，先根据平分线的性质得，，再根据轴对称的性质得，，，最后根据，得关于的方程，解方程求得的值即可求解得证．
17.【答案】如图1，线段BE就是所求作的角平分线；
证明：
如图1，过点I作，，，点F，G，H为垂足．
平分，，，
．
同理可得：．
，
，，
点I在的平分线上角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
和AD的数量关系是：或
证明如下：
如图2，分别延长AC、BF交于点G．
，，
，
，
，，
，
，
≌，
．
平分，
，
，
，
≌．
，
，
即．
【解析】根据尺规作图作BE平分，分别交AC，AD于点E，I即可；
在的条件下，根据角平分线的性质即可证明点I在的平分线上；
根据，，过点B作，垂足为点F，画出符合条件的图形，即可猜想BF和AD的数量关系．
本题考查了作图复杂作图、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是准确画图．
18.【答案】解：；72；
证明：，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
，
理由：由知，，
，
，
，
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，；
故答案为：36；72；
见答案；
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论；
根据已知条件得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
由知，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
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