3.2勾股定理的逆定理 同步达标测评 2021-2022学年苏科版八年级数学上册(word版含答案)

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《3.2勾股定理的逆定理》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．下列各组数是勾股数的一组是（　　）
A．7，24，25 B．，， C．1.5，2，2.5 D．32，42，52
2．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（　　）
A．45° B．40° C．30° D．25°
3．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝，c＝ B．a＝5，b＝12，c＝13
C．a＝1，b＝3，c＝ D．a＝1，b＝1，c＝2
4．如图，在单位为1的正方形组成3×4的网格图中有a，b，c，d四条线段，下列能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）
A．a，b，c B．b，c，d C．a，b，d D．a，c，d
5．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．BC＝1，AC＝2，AB＝ B．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
6．在数学活动课上，老师要求学生在4×4的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（　　）种．
A．3 B．4 C．5 D．6
7．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　）
A．16 B．17 C．25 D．64
8．如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（　　）
A．2 B． C． D．
9．在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，那么点D到AB的距离是（　　）
A．4.8 B．4 C．3 D．
10．已知a、b、c是直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高，下列说法：①、、能组成三角形；②a2、b2、c2能组成三角形；③c+h、a+b、h能组成直角三角形；④、、能组成直角三角形，其中错误结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是　 　．
12．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为A，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为B，则A+B＝　 　．
13．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当n＜150时，共有　 　组这样的“完美勾股数”．
14．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点E是BC上一点，ED⊥BC交AB于点D，DF⊥AC于点F，则线段EF的最小值为 　 　．
15．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是　 　．
16．△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为BC边上一动点，过线段AP上的点M作DE⊥AP，交边AB于点D，交边AC于点E，点N为DE中点．若四边形ADPE的面积为18，则AN的最大值＝　 　．
三．解答题（共9小题，满分60分）
17．在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝，CD＝2，BC＝3，AB＝5，求：四边形ABCD的面积．
18．如图，在正方形ABCD中，E为AD中点，G为DC上一点，且DG＝DC，BE与EG垂直吗？
19．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．
20．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
21．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
22．阅读理解题：
（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝BC．求证：∠BAC＝90°．
证明：∵BD＝CD，AD＝BC，∴AD＝BD＝DC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C＝180°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，即∠BAC＝90°．
（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．
（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为1+，求这个三角形的面积．
23．（1）阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5； 是三个连续正整数组成的勾股数．
解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？
答：　 　，若存在，试写出一组勾股数：　 　．
②在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．
③在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．
（2）探索升华：是否存在锐角△ABC三边也为连续正整数；且同时还满足：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC＝2∠BAC？若存在，求出△ABC三边的长；若不存在，说明理由．
24．如图a，∠EBF＝90°，请按下列要求准确画图：
1：在射线BE、BF上分别取点A、C，使BC＜AB＜2BC，连接AC得直角△ABC；
2：在AB边上取一点M，使AM＝BC，在射线CB边上取一点N，使CN＝BM，直线AN、CM相交于点P．
（1）请用量角器度量∠APM的度数为　 　；（精确到1°）
（2）请用说理的方法求出∠APM的度数；
（3）若将①中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出∠APM的度数吗？
25．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．
（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；
（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1 c2．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A、72+242＝252，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项符合题意；
B、、不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
C、1.5，2.5，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
D、92+162≠252，不是勾股数，不合题意．
故选：A．
2．解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，
∴AC2+AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．
3．解：A、12+（）2＝（）2，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+122＝132，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、12+32＝（）2，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、12+12≠22，此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．解：由题意a＝，b＝2，c＝，d＝，
∵a2+b2＝c2，
∴a，b，c能构成直角三角形，
故选：A．
5．解：A、∵12+（）2＝22，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵12+22＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠A＝45°，∠5＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
6．解：如图所示：
形状不同的直角三角形共有5种情况：
直角边之比为1：2，如图①和②；
直角边之比为1：3，如图③
直角边之比为1：1，如图④和⑤．
故选：C．
7．解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A，
∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，
故A＝17，
故选：B．
8．解：过B作BE⊥AC于E，
∵AB＝BD，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，AE＝DE，
∵D是AC的三等分点（AD＞CD），
∴AE＝DE＝DC，
在Rt△BEC中，BC＝2，∠C＝45°，
∴∠EBC＝∠C＝45°，
∴BE＝CE，
由勾股定理得：2BE2＝DC2＝（2）2＝8，
解得：BE＝EC＝2，
∴AE＝1，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
故选：B．
9．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故DE的长为3．
故选：C．
10．解：∵a、b、c是直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高，
∴a2+b2＝c2，
①＝a+b+2，＝c；
∵a、b、c能组成三角形，
∴a+b＞c，
∴＞；
∴+＞，
∴、、能组成三角形（这里明显是最长边）；
∴、、能组成三角形，①正确；
②∵a2+b2＝c2，不符合三角形的两边之和大于第三边；
∴a2、b2、c2不能组成三角形，②错误；
③∵（c+h）2﹣h2＝c2+2ch，ch＝ab（直角三角形面积＝两直角边乘积的一半＝斜边和斜边上的高乘积的一半），
∴2ch＝2ab，
∴c2+2ch＝c2+2ab，
∵a2+b2＝c2，
∴c2+2ch＝a2+b2+2ab，
∴（c+h）2﹣h2＝（a+b）2，
∴h2+（a+b）2＝（c+h）2，
∴c+h、a+b、h能组成直角三角形；
∴③正确；
④∵+＝＝＝，
∴、、不能构成三角形，更不能构成直角三角形，④错误．
∴说法错误的有②④，共2个．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：
延长AP到C，使AP＝PC，连接BC，
∵AP＝PC＝＝，
同理BC＝，
∵BP＝＝，
∴PC＝BC，PC2+BC2＝PB2，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠CPB＝45°，
故答案为：45°．
12．解：∵由9生成的勾股数”的“弦数”记为A，
∴92＝81，81＝40+41，
故A＝41，
∵“由20生成的勾股数”的“弦数”记为B，
∴102＝100，则100﹣1＝99，100+1＝101，
即B＝101，
则A+B＝41+101＝142．
故答案为：142．
13．解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，
149+150＝299，
大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，
∴共有8组这样的“完美勾股数”．
故答案为：8．
14．解：连接CD，EF,
∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169,
∴BC2+AC2＝AB2,
∴∠BCA＝90°,
∵DE⊥CB，DF⊥AC,
∴四边形DECF是矩形,
∴EF＝CD,
∴当CD值最小时，EF的值最小,
∴根据垂线段最短,则当CD⊥BA时，CD的值最小,
此时，∵S△ABC＝BC AC＝AB CD,
∴CD＝＝＝,
∴EF的最小值为,
故答案为．
15．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，
∴AB＝＝＝3，S△ABC＝AB BC＝6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB＝AP＝3时，如图①所示，
S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝3.6；
②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，
作△ABC的高BD，则BD＝＝＝2.4，
∴AD＝DP＝＝1.8，
∴AP＝2AD＝3.6，
∴S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝4.32；
③当CB＝CP＝4时，如图③所示，
S等腰△BCP＝S△ABC＝×6＝4.8；
④当BP＝CP时，点P在线段BC的垂直平分线上，
根据平行线分线段成比例定理得点P是AC的中点，
∴BP是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BP＝AP，
此时△ABP也是等腰三角形，不符合题意，舍去．
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．
故答案为3.6或4.32或4.8．
16．解：∵△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵N为DE的中点，
∴AN＝DE，
∵四边形ADPE的面积为18，DE⊥AP，
∴，
即AN AP＝18，
当AP取最小值时，AN有最大值，
故当AP⊥BC时，AP值最小，最小值为，
此时AN＝，
故答案为．
三．解答题（共9小题，满分60分）
17．解：∵连接AC，如图所示：
∵∠D＝90°，AD＝，CD＝2，
∴AC＝＝4．
∵BC＝3，AB＝5，22+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝××2+×4×3＝2+6．
18．证明：设正方形ABCD的边长为a，再求出Rt△DEG中，EG＝a，
同理求出BE＝a，BG＝a，
∵EG2+BE2＝（a）2+（a）2＝a2，BG2＝（a）2＝a2，
∴EG2+BE2＝BG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴BE与EG垂直．
19．解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，
∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，
∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，
∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0
得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，
即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
20．解：（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，
∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，
∴t＝12﹣3t，
解得：t＝3，
答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）①若∠APQ＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP，
∴12﹣3t＝2t，
∴t＝，
②若∠AQP＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（12﹣3t），
∴t＝．
∴当t＝或时，△APQ是直角三角形．
21．解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．
综上所述BN的长为或．
22．解：（1）为题目信息，不用解答．
（2）根据题意用语言表述为：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（3）因为一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，所以这个三角形为直角三角形，
设一边长为x，则另一边长为：[（1+）﹣x]，
根据勾股定理，[（1+）﹣x]2+x2＝4，解得x＝1或，
根据直角三角形的面积可得．
23．解：（1）①存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10，（3分）
故答案为：存在；6，8，10；
②答：不存在，（4分）
理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数，
设这三个正整数为n﹣1，n，n+1，
则（n﹣1）2+n2＝（n+1）2，（5分）
n1＝4，n2＝0（舍），
当n＝4时，n﹣1＝3，n+1＝5，
∴三个连续正整数仍然是3，4，5，
∴不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数；（6分）
③答：不存在，（7分）
理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数，
设这三个奇数分别为：2n﹣1，2n+1，2n+3（n＞1的整数），
（2n﹣1）2+（2n+1）2＝（2n+3）2，
n1＝，n2＝﹣，
∴不存在三个连续奇数能组成勾股数；（8分）
（2）答：存在，三边长分别是4，5，6，（9分）
理由是：如图，在△ABC中，设AB＝x，AC＝x+1，BC＝x﹣1，
则：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC＝2∠BAC，
延长CB至D，使BD＝AB，连接AD，
∴∠BAD＝∠BDA，（10分）
∵∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2∠BDA，
∵∠ABC＝2∠BAC，
∴∠BAC＝∠BDA，
∵∠C＝∠C，
当x＝5时，x﹣1＝4，x+6，
∴BC＝4，AB＝5，AC＝6，
答：满足条件的△ABC三边的长为4，5，6．（12分）
24．解：（1）45°．
（2）过点A作AK⊥AB，且AK＝CN，连接CK、MK，
∴四边形ANCK是平行四边形．
∵CN＝MB，∴AK＝MB，
∵AM＝CB，∠B＝∠KAM，
∴△AKM≌△BMC．
∴∠AKM＝∠BMC，KM＝MC．
∵∠AKM+∠AMK＝90°，
∴∠BMC+∠AMK＝90°．
∴∠KMC＝90°．
∴△KMC是等腰直角三角形．
∴∠MCK＝45°．
∵CK∥AN，
∴∠APM＝∠MCK＝45°．
（3）过点A作AK⊥AB，且AK＝CN，连接CK、MK．
∴四边形ANCK是平行四边形．
∵CN＝MB，∴AK＝MB，
∵AM＝CB，∠B＝∠KAM，
∴△AKM≌△BMC．
∴∠AKM＝∠BMC，KM＝MC．
∵∠AKM+∠AMK＝90°，
∴∠BMC+∠AMK＝90°．
∴∠KMC＝90°．
∴△KMC是等腰直角三角形．
∴∠MCK＝45°．
∵CK∥AN，
∴∠APM+∠MCK＝180°．
∴∠APM＝135°．
25．解：（1）证明：
∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2
＝（m2+n2+m2﹣n2）（m2+n2﹣m2+n2）
＝2m2 2n2
＝（2mn）2
∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2
∵m，n为正整数，且m＞n，
∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均为正整数
∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）由勾股定理得：
7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15
∴a＝
由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0
∴a＞1，0＜b＜5
∵a和b均为正整数
∴b的可能值为：1，2，3，4．
当b＝1时，a＝＝，不是正整数，故b＝1不符合题意；
当b＝2时，a＝＝，不是正整数，故b＝2不符合题意；
当b＝3时，a＝＝，不是正整数，故b＝3不符合题意；
当b＝4时，a＝＝31，是正整数，此时，＝，＝，
∵+＝240，＝240
∴+＝
∴b＝4符合题意．
∴a＝；a＝31，b＝4．
（3）证明：观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1 c2＝5×5＝25，
152+202＝225+400＝625，252＝625
∴152+202＝252
∴存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1 c2．