13.3.2 等腰三角形的判定课后培优练习2021-2022学年华东师大版 八年级数学上册(word版含答案)

13.3.2 等腰三角形的判定
一、单选题
1．如图，中，，点D在内部，且使得．则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．如图，直线分别与直线、相交于点E、F，与 互补，的平分线与的平分线交于点P，与直线交于点 G，交于点H，则下列说法：①；② ；③；④；⑤ ．其中正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，点为边的中点，将沿经过点的直线折叠，使点刚好落在边上的点处，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形中，，，对角线与相交于点O，若，则图中等腰三角形的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，将绕点按逆时针方向旋转80°，得到，连接，若，的度数为（ ）
A．20° B．30° C．25° D．35°
6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，是的角平分线，交于E，若，则（ ）．
A．8 B．11 C．10 D．9
8．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，交于点D，交于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（　　）
A．18° B．20° C．24° D．28°
10．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，过点A的直线与的平分线分别交于点E、D，则的长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
12．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=4，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC长为（　　）
A．7cm B．8cm C．8.5cm D．10cm
14．如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
15．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
二、填空题
16．如图，在中，，AM和BN分别是、的平分线，若的周长为10，，则AB的长为____________．
17．△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，若∠A=36°，则此图中共有_______个等腰三角形．
18．如图，已知，连结，若，则的度数是______．
19．已知一个等腰三角形的两边分别为5和10，则它的周长为 ___．
20．在中，于点D，若，则的周长是__________．
三、解答题
21．如图，已知四边形，连接，其中，，，延长到点，得，点为上一点，连接、，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，试探究、的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，若，求的度数．
22．以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点．
（1）如图1，平分，求证：；
（2）如图2，过点作，分别交、于点、点，连接，过作，交于点，连接，交于点，求证：；
（3）如图3，点为边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，当，时，求的最小值．
23．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB∥DE，AE＝3，DE＝4，求△ACF的周长．
参考答案
1．C
如图，在内作，且使得，连，
在和中，
，
，
为等腰三角形，
为等腰三角形，
，，，
为等边三角形，
为等腰三角形，
延长CE交AD于F点，
故选：C．
2．C
解：∵∠AEF=∠BEM，∠BEM+∠EFC=180°，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点P，
∴
∴
∴∠EPF=90°，
∴EG⊥PF，
∵HG∥PF，
∴EG⊥HG，故③正确；
∵AB∥CD，
∴∠FGE=∠BEG，
∵∠BEG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FEG，故②正确；
∴EF=GF，
∵EG⊥PF，
∴，故⑤正确；
∵∠EFC=∠EGF+∠FEG，∠EGD=∠EFG+∠FEG，
而∠EGF与∠EFG不一定相等，故④不正确
故选：C
3．C
根据折叠的性质得：AD=FD
∵点D是AB的中点
∴AD=BD
∴BD=FD
∴△DBF是等腰三角形，且∠DFB=∠B=48゜
在△DBF中，∠BDF=180゜－2∠B=84゜
故选：C．
4．C
解：∵AB=AD，CB=CD，
∴△ABD和△BCD都是等腰三角形，
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∴AO⊥BD，
∴∠AOB=90°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠BAC=∠DAC=45°，
∴△AOB和△AOD是等腰直角三角形，
∴等腰三角形一共有4个，
故选C．
5．B
∵是由绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴．
∵ ，
∴，
∴．
故选：B．
6．C
解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
7．A
解：∵是的角平分线，
∴∠DCB=∠DCE，
∵，
∴∠DCB=∠EDC，
∴∠EDC=∠DCE，
∴CE=DE=3cm，
∴AC=AE+CE=5+3=8cm．
故选择A．
8．D
解：①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，
∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，
∴△AOB为等腰三角形；
③△AOC为等腰三角形；
④△BOC为等腰三角形；
⑤∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ABC=∠ODE，∠ACB=∠OED，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ODE=∠OED，
∴△DOE为等腰三角形；
⑥∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，
∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，
∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，
∴△BOD为等腰三角形；
⑦△COE为等腰三角形．
故选：D．
9．C
】解：∵AB'=CB'，
∴∠C=∠CAB'，
∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C=∠C'，AB=AB'，
∴∠B=∠AB'B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°-108°，
∴∠C=24°.
故选：C．
10．C
解：由旋转的性质可知，AC=AC′，
∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′=32°，
∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，
∵∠B=∠C′B′A，
∴∠B=77°，
故选：C．
11．A
解：∵，
∴．
又∵平分，
∴，
即：，
∴．
同理可得：，
∴，
故：选A．
12．D
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=4，
∴A2B1=4，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=16，
A4B4=8B1A2=32，
A5B5=16B1A2=64，
以此类推：A6B6=32B1A2=128．
故选D.
13．B
解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∵BE=6cm，DE=2cm，
∴DM=4cm，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2cm，
∴BN=4cm，
∴BC=2BN=8cm．
故选：B．
14．A
解：连接AD，
则：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
即：×8 DF＋×8 DE＝24，
可得：DE＋DF＝6，
∵DF＝2DE，
∴DF＝4，
故选：A．
15．C
解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
16．4
解：在AC上取点D，使AD=AB，连接DM，
∵AM和BN分别是、的平分线，
∴∠BAM=∠DAM，∠ABC=2∠ABN=2∠CBN，
∵AM=AM
∴△ABM≌△ADM，
∴BM=DM=2，∠ABC=∠ADM=2∠C，
∵∠ADM=2∠C=∠C+∠DMC
∴∠C=∠DMC
∴DM=DC=2
∴AC-AB=2①，
∵，
∴∠CBN=∠C，
∴BN=NC，
∵的周长为10，
∴AB+AN+BN=10，
∴AB+AN+CN=AB+AC=10②，
②-①得：AB=4
故答案为：4
17．3
解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC=∠ACB==72°，BD是∠ABC的角的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，BCE=36°，
∵∠DBC=36°，∠ACD=72°，∠BDC=180°-72°-36°=72°，
∴BD=BC，
∴△ABC，△ADB，△BDC都是等腰三角形，共3个．
故答案为：3．
18．15°
∵，
∴AC=DC，∠BAC=∠EDC=30°，
∴三角形ACD是等腰直角三角形，
∴∠ADC=45°，
∴∠1=∠ADC-∠EDC=45°-30°=15°，
故答案为：15°．
19．25
解：①若5是底边长，10是腰长，
则5，10，10能组成三角形，
则它的周长是：；
②若10是底边长，5是腰长，
，
，5，10不能组成三角形，舍去；
它的周长是25．
故答案是：25．
20．20
∵在中，，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵于点D，
∴．
∵，
∴的周长．
故答案为：20
21．（1）见详解；（2），理由见详解；（3）
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点F作FM⊥FA交AC于点M，如图2所示：
∵，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
22．（1）见详解；（2）见详解；（3）8
（1）证明：过点P作PT⊥BC于点T，如图所示：
∵，平分，
∴，
∵BP=BP，
∴Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），
∴AB=BT，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴AP=PT=TC，
∵，
∴；
（2）证明：过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△ABE≌△CAR（AAS），
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴△ABG≌△ACD（ASA），
∴AG=AD，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴△EHG≌△RHC（AAS），
∴；
（3）解：过点A作AO⊥BC于点O，连接OM、BK，如图所示：
∵，，
∴，
∵点M是AB的中点，
∴，，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，即，
∴△MBQ≌△MOK（SAS），
∴，
∴点K在OA所在的直线上移动，
∵OA垂直平分BC，
∴，
∴PK+CK=PK+BK≥BP，
∴当且仅当B、K、P三点共线时PK+CK取得最小值，
∵，
∴，
在Rt△BAP中，∠BAP=90°，AP=4，
∴，
∴的最小值为8．
23．（1）见解析；（2）7
解：（1）证明：∵，∴，
∴，
则在和中，
∴
∴
（2）∵ ∴
又∵ ∴，
则, 是等腰三角形，∴
又∵
则 ，
∴的周长.