2021-2022学年苏科版八年级数学上册 第二章 轴对称图形 单元综合练习题 (word版含答案)

第二章 轴对称图形 单元综合练习题
2021-2022学年苏科版八年级数学上册
一、选择题
1、如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（　　）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
(2) (3) (4)
2、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3、如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
4、如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（　　）
A．100° B．105° C．115° D．120°
5、小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
(6) (7) (8)
6、如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7、如图所示，在中，，，垂直平分，交于点，cm，
则等于（ ）
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm
8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9、如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
(10) (11) (12)
10、如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11、如图，中，，，，垂足为，延长至，使，若
的周长为24，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
12、如图，等腰三角形ABC底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
13、如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
(15) (16)
二、填空题
14、一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：　 　．
15、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长=__________．
16、如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为　 　．
17、如图，在中，，AD平分交BC于点D，若，，
则 的面积为______．
(18) (19)
18、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，
则∠DBC＝_____．
19、如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；
③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是　 　．（填序号）
三、解答题
20、点A、B、C都在方格纸的格点上．请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请在备用图中画出设计方案，尽可能多地设计出不同的图形）
21、如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
22、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
23、如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD＝CD，
（1）用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程．
24、如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
25、如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
26、如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
27、如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
28、如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．（1）求∠EFB的度数；（2）求证：DE＝2DF．
29、如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
30、如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
第二章 轴对称图形 单元综合练习题
2021-2022学年苏科版八年级数学上册（解析）
一、选择题
1、如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（　　）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【分析】利用轴对称画出图形即可．
【解答】解：如图所示：
，
该球最后落入的球袋是4号袋，
故选：D．
2、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据题意得到MN是线段AB的垂直平分线，进而得到点D是AB的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴点D是AB的中点，
∴S△ADC＝S△BDC，
∵S△BDC﹣S△CDE＝5，
∴S△ADC﹣S△CDE＝5，即△ADE的面积为5，
故选：A．
3、如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．
【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，∴AC＝14，故选：B．
4、如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（　　）
A．100° B．105° C．115° D．120°
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB＝130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM＝PM，PN＝CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，进而得出∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP=×130°＝65°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠ABC＝50°，∴∠BAC+∠ACB＝130°，
∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM＝PM，PN＝CN，∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，
∵∠APC＝180°﹣∠APM﹣∠CPN＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP，
∴∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP=×130°＝65°，
∴∠APC＝115°，
故选：C．
5、小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【解题思路】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
【解答过程】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
6、如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解题思路】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答过程】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
7、如图所示，在中，，，垂直平分，交于点，cm，
则等于（ ）
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质得到∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质解答．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝30°，
∵在RtAEC中，∠AEC＝30°，cm，∴AE＝2AC＝6cm，∴BE＝AE＝6cm，
故选：A．
8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】
试题分析：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，
∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，
∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE=BD，
∵BC=3， ∴CD=DE=1
9、如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由翻折的性质得到AH=AB，MN垂直平分AD，证明△ADH是等边三角形，得到∠DAH，
可得∠HAB，结合AB=AH计算出∠ABH，从而可得∠HBC．
【详解】解：由翻折的性质可知：AH=AB，MN垂直平分AD，∴DH=AH，
∴AH=AD=DH=AB，∴△ADH是等边三角形，∴∠DAH=60°．∴∠HAB=30°．
∵AB=AH，∴∠ABH=×（180°-30°）=75°．∴∠HBC=15°．
故选C．
10、如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AD上的点到AB、AC两边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，然后对各小题分析判断解答即可．
【解答过程】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AB上一点与AC上一点到D的距离相等错误；AD上任意一点到AB、AC的距离相等正确，
故①错误，②正确；
又∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠CDF＝90°﹣∠C，∴BDE＝∠CDF，故③正确；
根据等腰三角形三线合一的性质，BD＝CD，AD⊥BC，故④正确，
综上所述，正确的结论有②③④共3个．
故选：C．
11、如图，中，，，，垂足为，延长至，使，若
的周长为24，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】中，，，，根据等腰三角形的性质求解．
【详解】∵中，， ,∴ 为等边三角形
又∵, ∴，，，∠QMN=30°，∠PNM=60°
∵,∴∠G=∠NQG=30°, ∴∠G=∠QMN=30°
∴ , ∴ 的周长是MQ+QG+MN+NG=2a+12．
故选：A
12、如图，等腰三角形ABC底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
13、如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【解题思路】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22 OA1，A4B4＝A4A5＝23 OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，即可求解．
【解答过程】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，∴A1B1＝OA1，∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
二、填空题
14、一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：　 　．
【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称．
【解答】解：实际车牌号是K62897．
故答案为：K62897．
15、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长=__________．
【解题思路】根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分线的性质即可解决问题．
【解答过程】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，∴19DE＝152，∴DE＝8．
16、如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为　 　．
【解题思路】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．
【解答过程】解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，
∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，∴有两种情况：
当3x＝18且x+y＝15时，解得x＝6，y＝9，即AC的长为9；
当x+y＝18且3x＝15时，解得x＝5，y＝13，此时腰为10，即AC的长为13．
综上所述，AC的长为9或13．
故答案为：9或13．
17、如图，在中，，AD平分交BC于点D，若，，
则 的面积为______．
【答案】5
【解析】
【分析】作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH=DC=2，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH=DC=2，
∴△ABD的面积=
故答案为5．
18、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，
则∠DBC＝_____．
【答案】15°．
【解析】
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB，∠AED=∠BED=90，即可得出∠A=∠ABD，∠BDE=∠ADE，然后根据直角三角形的两锐角互余和等腰三角形的性质分别求出∠ABD，
∠ABC的度数，即可求出∠DBC的度数．
【详解】∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴DA=DB，∠AED=∠BED=90，
∴∠A=∠ABD，∠BDE=∠ADE，
∵∠ADE＝40，∴∠A=∠ABD=90＝50，
∵AB＝AC，∴∠ABC=，
∴∠DBC＝∠ABC-∠ABD=15.
故答案为15.
19、如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；
③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是　 　．（填序号）
【解题思路】先利用旋转的性质得到AB＝AC，AC＝AE，∠BAC＝∠EAC，则可判断△ABD为等边三角形，所以∠BAD＝∠ADB＝60°，则∠EAC＝∠BAD＝60°，再计算出∠DAC＝30°，于是可对①进行判断；接着证明△AEC为等边三角形得到EA＝EC，加上DA＝DC，则根据线段垂直平分线的判定方法可对②进行判断；然后根据平行线和等腰三角形的性质，则可对③进行判断，利用等边三角形的判定判断即可．
【解答过程】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴∠ABC＝60°，
∵△ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，∴AB＝AC，AC＝AE，∠BAC＝∠EAC，
∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD＝∠ADB＝60°，∴∠EAC＝∠BAD＝60°，
∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝30°＝∠ACB，∴∠DAC＝∠DCA，所以①正确；
∵AC＝AE，∠EAC＝60°，∴△AEC为等边三角形，∴EA＝EC，
而DA＝DC，∴ED为AC的垂直平分线，所以②正确；
∴DE⊥AC，∵AB⊥AC，∴AB∥DE，∴∠ABE＝∠BED，
∵AB≠AE，∴∠ABE≠∠AEB，∴∠AEB≠∠BED，
∴EB平分∠AED不正确，故错误；所以③错误；
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴∠ABC＝60°，
由旋转知，AB＝AD∴△ABD为等边三角形，故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题
20、点A、B、C都在方格纸的格点上．请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请在备用图中画出设计方案，尽可能多地设计出不同的图形）
【分析】分别以AB的垂直平分线，BC的垂直平分线，AB所在直线，BC所在直线为对称轴，即可得到满足条件的所有点D的位置．要注意以AC的垂直平分线或AC所在的直线为对称轴时，点B的对称点不是格点．
【解答】解：如图所示：
21、如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，证明△BAD≌△BED，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAC＝105°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，, ∴△BAD≌△BED（SSS），∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
22、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；
（2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明；
【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．
（2）证明∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，即直线AD是线段CE的垂直平分线．
23、如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD＝CD，
（1）用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程．
【解题思路】（1）根据角平分线的尺规作图可得；
（2）先由AD＝CD知∠A＝∠DCA，继而得∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，再由DE平分∠BDC知∠BDC＝2∠BDE，从而得∠BDE＝∠A，从而得证．
【解答过程】解：（1）如图所示，DE即为所求．
（2）DE∥AC．
理由如下：
因为AD＝CD，所以∠A＝∠DCA，所以∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，
因为DE平分∠BDC，所以∠BDC＝2∠BDE，
所以∠BDE＝∠A，所以DE∥AC．
24、如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
【解题思路】先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE＝PF，只需再证∠EPC＝∠FPD，根据已知，两个角都等于90°减去∠CPF，那么三角形全等就可证．
【解答过程】解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，∴∠EPF＝90°，∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，∴∠CPF+∠FPD＝90°，∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC＝PD．
25、如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【解题思路】（1）根据直角三角形的性质求出∠FAE，根据补角的定义计算，得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答过程】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
解得，EG＝EH=，
∴EF＝EH=，
26、如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
【解题思路】（1）首先依据平行线的性质证明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B＝∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长．
【解答过程】证明：（1）∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．
∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE．∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，∴AF＝CF．
∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG．∴AE＝GC＝8．
∵GC＝2BG，∴BG＝4．∴BC＝12．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．
27、如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD=（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论．
【解答过程】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD=（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；
（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，
理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，
在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，
∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，
在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，
∴β＝70°﹣∠ABE，
∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，
∴∠BEC+∠BDC＝110°．
28、如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．
（1）求∠EFB的度数；
（2）求证：DE＝2DF．
【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝30°，求出∠BFE即可；
（2）连接BD，求出BD＝DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出答案．
【解答过程】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，∴AD＝CD=AC，
∵CE=BC，∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°；
（2）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD=∠ABC＝30°，
∵∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2DF，即DE＝2DF．
29、如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，根据平行线的性质和等边三角形的判定定理证明即可；
（2）证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE即可证明．
【解答过程】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）解：AE+CE＝BE．
∵∠BAD+∠DAC＝60°，∠CAE+∠DAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∴BE＝BD+DE＝AE+CE，CE＝BD＝DE，
∴∠EBC＝30°，∴∠BEC＝60°．
30、如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
【解题思路】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答过程】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x， 解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵△AMN是等边三角形，∴t＝10﹣2t，解得t=，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，解得：y=．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，
此时M、N运动的时间为秒．