1.1.2弧度制 课件
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(共25张PPT)
1、在0°～360°范围内，找出与－600°角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
－600°=120°－360°X 2
第二象限角.
2、写出与－600°角终边相同的角的集合S，并把集合S中适合不等式-720°≤ β＜720°的元素β写出来.
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角， 的角是如何定义的？
O
1°的角
角度制
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度
—弧度制，它是如何定义呢？
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
弧度制 ：
单位符号 ：rad
读作弧度
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的
圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，
这样的圆心角等于1rad。
AOB=1rad
o
A
B
rad
1
O
l =r
r
o
A
C
rad
2
O
r
r
l
2
=
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，
零角的弧度数是0
(2)角 的弧度数的绝对值
（
(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，
但量数相同（都是0）
(5)用角度制和弧度制来度量任一非零角，
单位不同，量数也不同。
(3)以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制
把角度换成弧度
把弧度换成角度
角度与弧度间的换算
注意几点：
1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”
《中学数学用表》进行
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad
sin 表示 rad角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住（见课本P8表）
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，
无论用角度制还是弧度制都能在角的集合
与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
[例1]把下列各角化为弧度
（1）30°（2）5°（3）-45°
角度制与弧度制互化时要抓住
弧度 这个关键．
[例2]把下列 各角化为度：
弧度
360
270
180
90
60
45
30
度
练习：填表
15
45
75
135
300
0
弧度
60
30
0
度
270
90
度
弧度
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；
的大小，而 是圆的 所对的圆心角（或该弧）
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一
个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
（1）用角度表示
（2）用弧度表示
与 终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
与 终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
把下列各角化成
的形式：
[例3]
（1） ；（2） ；（3） ．
已知扇形OAB的中心角为4，其面积2cm2，求扇形的周长和弦AB的长。
弧长公式
1、角度制下的弧长公式
角度制下的扇形面积公式
2、弧度制下的弧长公式
弧度制制下的扇形面积公式
[例4]．求图中公路弯道处弧 的长
（精确到 ，图中长度单位： ）．
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
解: 设扇形的圆心角的弧度数为 , 弧长为l,半径为R,
分析:要求圆心角,根据公式 ,需求弧长l及半径R.
根据题意:
①
②
由①得 ,
代入②得
当R=1时,l=8cm时,
当R=4时,l=2cm时,
舍去
∴所求扇形的圆心角的弧度数为
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形圆心角的弧度数为
A、1 B、4 C、1或4 D、2或4
C
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径r=________
3、在半径为 的圆中，圆心角为周角的 的角所对圆弧的长为___________
40
4、若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个圆心角所在扇形的面积为_________
4cm2
8.已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少
练习7：当扇形的中心角为600，半径为10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积
L=10π/3
600=π/3
作业
课本第10页
第7、8、 9、10题
例5 用弧度制表示
1、在0°～360°范围内，找出与－600°角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
－600°=120°－360°X 2
第二象限角.
2、写出与－600°角终边相同的角的集合S，并把集合S中适合不等式-720°≤ β＜720°的元素β写出来.
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角， 的角是如何定义的？
O
1°的角
角度制
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度
—弧度制，它是如何定义呢？
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
弧度制 ：
单位符号 ：rad
读作弧度
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的
圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，
这样的圆心角等于1rad。
AOB=1rad
o
A
B
rad
1
O
l =r
r
o
A
C
rad
2
O
r
r
l
2
=
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，
零角的弧度数是0
(2)角 的弧度数的绝对值
（
(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，
但量数相同（都是0）
(5)用角度制和弧度制来度量任一非零角，
单位不同，量数也不同。
(3)以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制
把角度换成弧度
把弧度换成角度
角度与弧度间的换算
注意几点：
1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”
《中学数学用表》进行
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad
sin 表示 rad角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住（见课本P8表）
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，
无论用角度制还是弧度制都能在角的集合
与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
[例1]把下列各角化为弧度
（1）30°（2）5°（3）-45°
角度制与弧度制互化时要抓住
弧度 这个关键．
[例2]把下列 各角化为度：
弧度
360
270
180
90
60
45
30
度
练习：填表
15
45
75
135
300
0
弧度
60
30
0
度
270
90
度
弧度
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；
的大小，而 是圆的 所对的圆心角（或该弧）
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一
个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
（1）用角度表示
（2）用弧度表示
与 终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
与 终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
把下列各角化成
的形式：
[例3]
（1） ；（2） ；（3） ．
已知扇形OAB的中心角为4，其面积2cm2，求扇形的周长和弦AB的长。
弧长公式
1、角度制下的弧长公式
角度制下的扇形面积公式
2、弧度制下的弧长公式
弧度制制下的扇形面积公式
[例4]．求图中公路弯道处弧 的长
（精确到 ，图中长度单位： ）．
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
解: 设扇形的圆心角的弧度数为 , 弧长为l,半径为R,
分析:要求圆心角,根据公式 ,需求弧长l及半径R.
根据题意:
①
②
由①得 ,
代入②得
当R=1时,l=8cm时,
当R=4时,l=2cm时,
舍去
∴所求扇形的圆心角的弧度数为
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形圆心角的弧度数为
A、1 B、4 C、1或4 D、2或4
C
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径r=________
3、在半径为 的圆中，圆心角为周角的 的角所对圆弧的长为___________
40
4、若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个圆心角所在扇形的面积为_________
4cm2
8.已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少
练习7：当扇形的中心角为600，半径为10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积
L=10π/3
600=π/3
作业
课本第10页
第7、8、 9、10题
例5 用弧度制表示