1.2.1任意角的三角函数 课件

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1.2.1 任意角的三角函数
1.复习引入
我们已经学习过锐角的三角函数，如图：
你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗
A
B
C
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.
α的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的距离是_______________
过P作x轴的垂线,垂足为M,则 线段OM的长度为___ 线段MP的长度为___
2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数
M
y
x
O
α
P(a,b)
M
y
x
O
α
P(a,b)
P(a,b)
M
A(1,0)
x
y
α
1
将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上
以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆
P(x,y)
A(1,0)
x
y
α
3.利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)
(1) y叫做α的正弦,记作sinα,
即 sinα=y
(2) x叫做α的余弦,记作cosα,
即 cosα=x
(3) 叫做α正切,记作tanα,
即
4.三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数
弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系
三角函数可以看成自变量为实数的函数
y
x
B
A
O
解: 在直角坐标系中,作出
5.典型例题
练
例2 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值
解:
设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则
y
x
O
M
M0
P0(-3,-4)
P(x,y)
知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角α的三角函数值.
y
x
O
M
P(x,y)
α
练
6.三角函数的定义域
三角函数 定义域
sinα
cosα
tanα
R
R
根据三角函数的定义,研究三角函数值在各个象限的符号
-
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
+
y
O
x
O
x
y
O
x
y
口诀： 一全正 二正弦 三正切 四余弦
例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三角限角
①
②
证明:如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.
若sinθ<0,那么θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y轴的非正半轴上
又若tanθ>0,那么θ角的终边可能位于第一或第三象限.
因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.于是θ为第三象限角
可以把求任意角的三角函数值.转化为求0到2π(或0°至360°)角的三角函数值.
7.终边相同的角的同一种三角函数值相等
诱导公式一
角α终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现
例4 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
解:(1)因为250°是第___象限角,所以cos250° 0
(2)因为 是第____象限角,所以
(3)因为tan(-670°)=tan(48°-2×360°)=tan48° 而48°是第一象限角,所以 tan(-672°) 0
(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ=0
三
<
四
<
>
练
例5 求下列三角函数值
练习1.
D
练习2.
B
练习3.
C
y
x
x
y
y
y
x
x
M
M
M
M
O
O
O
O
P
P
P
P
α的终边
α的终边
α的终边
α的终边
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
(Ⅳ)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
1.下面从图形角度认识一下三角函数
角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.
|MP|=|y|=|sinα|
|OM|=|x|=|cosα|
思考
(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致
|MP|=|y|=|sinα|
|OM|=|x|=|cosα|
当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:
当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.
OM=x=cosα
当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:
当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.
MP=y=sinα
(2)你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一样的线段来表示角α的正切吗
思考
T
T
T
y
x
x
y
y
y
x
x
M
M
M
M
O
O
O
O
P
P
P
P
α的终边
α的终边
α的终边
α的终边
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
(Ⅳ)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
T
过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T.
这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线
y
x
T
M
O
P
α的终边
A(1,0)
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;
当角α的终边与y轴重合时,余 弦线变成一个点,正切线不存 在,此时角α的正切值不存在.
例题
求证：当　为锐角时，　　　　　　　．
1.任意角的三角函数的定义。
2.明确各种三角函数的定义域。
3.掌握各种三角函数在不同象限的正负情况.
小结
单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度的圆。
三角函数线：用有向线段的数量来表示。
O
x
y
P
M
A
T
规律：三角函数线是有向线段的数量，要分清起点、终点。
1）凡含原点的线段，均以原点为起点；
2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点为起点；
3）正切线AT：起点A一定是单位圆与轴的非负半轴的交点，终点T为终边（或延长线）与过A的圆的切线的交点
作业
课本第20页习题1.2A组
2,5,7
练习
利用三角函数的定义求 的三个三角函数值
y
x
A(1,0)
O
解:如图 与单位圆的交点为
返
练习
已知角θ的终边过点P(-12,5),求角θ的三角函数值
解:
返
口答: 设α是三角形的一个内角,在sinα, cosα, tanα, tan(α/2)那些可能取负值
确定下列三角函数值的符号
>0
练习
返
tan196o>0
填表:
角α 0° 90° 180° 270° 360°
角α的弧度数
sinα
cosα
tanα
A． 　 B． 　 C． 　 D．
反馈训练
（1）若角　终边上有一点　　　，则下列函数值不存在
的是（ ）．
（3）若角　的终边过点　　　，且　　　　　，
（2）若　　　　　，　　　　　都有意义，则
．
则　　　　　　．