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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
问题提出
问题1.根据正弦函数和余弦函数的图象,你能说出它们具有哪些性质?
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
x
y
O
1
-1
y=cosx
注意:求函数定义域首先应考察函数的定义域是否关于原点
对称这一必要条件.
周期函数的概念
思考1:观察上图, 正弦曲线每相隔 个单位重复出现.
.
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
2π
诱导公式
其理论依据是什么?
当自变量x的值增加2π的整数倍时,函数值重复出现.数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律
思考2:设f(x)=sinx,则
可以怎样表示?
f(x+2kπ)=f(x)
这就是说:当自变量x的值增加到x+2kπ时,函数值重复出现.
为了突出函数的这个特性,我们把函数f(x)=sinx称为周期函数,2kπ为这个函数的周期 (其中k∈z且k≠0).
思考3:把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么,一般地,如何定义周期函数呢?
【周期函数的定义】对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.
思考4:周期函数的周期是否唯一?正弦函数y=sinx的周期有哪些?
答:周期函数的周期不止一个. ±2π,±4π,±6π,…都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.
【周期函数的定义】对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.
【最小正周期】 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
今后本书中所涉及到的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期.
【周期函数的定义】对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.
【最小正周期】如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
答:正弦函数y=sinx有最小正周期,且最小正周期T=2π
思考5:我们知道 ±2π,±4π,±6π,…都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗?若有,那么最小正周期T等于多少?
正弦函数y=sinx是周期函数,2kπ(k∈Z且 k≠0)都是它的周期,最小正周期 T=2π.
余弦函数y=cosx是周期函数,2kπ(k∈Z且 k≠0)都是周期,最小正周期 T=2π.
思考6:就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
x
y
O
1
-1
y=cosx
二:周期概念的拓展
思考1:判断下列说法是否正确
思考2:周期函数的定义域有什么特点?
①函数f(x)=sinx(x≥0)是周期函数( )
②函数f(x)=sinx(x<0)是周期函数( )
③函数f(x)=sinx(x≠3kπ)是周期函数( )
④函数f(x)=sinx,x∈[0,10π]是周期函数( )
╳
╳
╳
╳
例1 求下列函数的周期:
⑴y=3cosx,x∈R;
⑵y=sin2x,x∈R;
⑶y=2sin( - ),x∈R;
∵ 3cos(x+2π)=
∴由周期函数的定义可知,原函数的周期为2π
【解】⑴
3cosx
⑵y=sin2x,x∈R;
∵sin2(x+π)=
∴由周期函数的定义可知,原函数的周期为π
sin2x
sin(2x+2π)
=
解:
⑶y=2sin( - ),x∈R;
∴由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π
解:
一般地,函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω >0)的最小正周期是多少
由上例知函数y=3cosx的周期 T= 2π;
函数y=sin2x的周期 T=π;
函数y=2sin( - )的周期 T=4π
想一想:以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗?
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否为周期函数?
〖分析〗由已知有:f(x+2)= -f(x)
∴f(x+4)=
即 f(x+4)=f(x)
∴由周期函数的定义知,f(x)是周期函数.
f(x)
=-[-f(x)]=
-f(x+2)
f[(x+2)+2]=
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.
归 纳 整 理
1.说说周期函数的定义.
3.什么叫周期函数的最小正周期?
2.函数的周期性是函数的一个基本性质,判断一个函数是否为周期函数,一般以定义为依据,检验它是否存在非零常数T,对定义域内任一实数x,f(x+T)=f(x)恒成立.
4.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ) (A>0)的最小
正周期 T=
这个公式,解题时可以直接应用
练习:1,2,3.