2.5.1 平面几何的向量方法 课件

(共25张PPT)
2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法
复习引入
1. 两个向量的数量积：
复习引入
1. 两个向量的数量积：
复习引入
1. 两个向量的数量积：
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
复习引入
1. 两个向量的数量积：
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
复习引入
1. 两个向量的数量积：
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
3. 向量平行与垂直的判定:
复习引入
1. 两个向量的数量积：
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
3. 向量平行与垂直的判定:
复习引入
1. 两个向量的数量积：
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
3. 向量平行与垂直的判定:
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
5. 求模：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
5. 求模：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
5. 求模：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
5. 求模：
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
A
B
C
D
猜想：
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
A
B
D
C
已知：平行四边形ABCD。
求证：
解：设 ，则
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 其它线段对应向
量用它们表示。
∴
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
C
A
B
D
E
F
R
T
猜想：
AR=RT=TC
解：设 则
由于 与 共线，故设
又因为 共线，
所以设
因为
所以
C
A
B
D
E
F
R
T
线，
故AT=RT=TC
C
A
B
D
E
F
R
T
探究（二）：推断直线位置关系
例3:三角形的三条高线交于一点.
D
A
B
C
E
F
P
探究（三）：计算夹角的大小
例4:在等腰△ABC中，D、E中点，
若CD⊥BE，∠A的大小是否为定值？
A
B
C
D
E
练习、证明直径所对的圆周角是直角
A
B
C
O
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即 。
解：设
则 ，
由此可得：
即 ，∠ACB=90°
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
小结：
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：