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第25章 概率初步单元测试（B卷提升篇）（人教版）
考试范围：第25章概率初步；考试时间：90分钟；总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2021·科尔沁左翼中旗教研室九年级期末）下列事件中，必然发生的为（ ）
A．科左中旗冬季比秋季的平均气温低 B．走到车站公共汽车正好开过来
C．打开电视机正转播世锦赛实况 D．掷一枚均匀硬币正面一定朝上
【答案】A
【分析】
根据必然事件的定义选出正确选项．
【详解】
解：A选项是必然事件；
B选项是随机事件；
C选项是随机事件；
D选项是随机事件．
故选：A．
【点睛】
本题考查必然事件和随机事件，解题的关键是掌握必然事件和随机事件的定义．
2．（2021·辽宁沈阳市·九年级期末）从甲、乙、丙、丁四人中抽调一人参加“抗疫”志愿者服务队，恰好抽到丙的概率是（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据概率公式直接求解即可．
【详解】
解：∵共有四人参加“抗疫”志愿者服务队，分别是甲、乙、丙、丁，
∴恰好抽到丙的概率是．
故选：C．21·cn·jy·com
【点睛】
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．（2019·瑞安市新纪元 ( http: / / www.21cnjy.com )实验学校九年级期末）现有背面完全相同的四张扑克牌，牌面数字分别是2，3，4，5，洗匀后背面朝上，则从中任意翻开一张是2的倍数的概率为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由现有背面完全相同的四张扑克牌，牌面数字分别是、、、，直接利用概率公式求解即可．
【详解】
解：∵现有背面完全相同的四张扑克牌，牌面数字分别是、、、，
∴其中是的倍数的是：、，
∴从中任意翻开一张是的倍数的概率为：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了概率公式的应用，熟记求简单事件的概率公式是解题的关键．
4．（2021·上海九年级专题练习）一 ( http: / / www.21cnjy.com )个不透明的盒子中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）【出处：21教育名师】
A．摸到红球是必然事件； B．摸到白球是不可能事件；
C．摸到红球和摸到白球的可能性相等； D．摸到红球比摸到白球的可能性大．
【答案】D
【分析】
利用随机事件的概念，以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．
【详解】
解：A．摸到红球是随机事件，故A选项错误；
B．摸到白球是随机事件，故B选项错误； ( http: / / www.21cnjy.com )
C．根据不透明的盒子中装有5个红球和3个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故C选项错误；
D．根据不透明的盒子中装有5个红球和3个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故D选项正确；
故选：D．【来源：21·世纪·教育·网】
【点睛】
此题主要考查了随机事件以及可能性大小，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等得出是解题关键．
5．（2020·浙江省义乌市稠江中学九年级月考）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．某校九年级共有428人，至少有两人的生日一样 B．经过路口，恰好遇到绿灯
C．打开电视，正在播放广告 D．抛一枚硬币，正面朝上
【答案】A
【分析】
直接根据随机事件与必然事件的定义进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A.某校九年级共有428人，至少有两人的生日一样，属于必然事件；
B. 经过路口，恰好遇到绿灯，属于随机事件；
C. 打开电视，正在播放广告，属于随机事件；
D. 抛一枚硬币，正面朝上，属于随机事件．
故选：A．
【点睛】
此题考查了随机事件与必然事件的定义．掌握并理解必然事件与随机事件的定义是解题的关键．
6．（2020·浙江杭州市·九年级）如图，的正方形网格中，在四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先列举所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】
解：在A，B，C，D四个点中任选三个点，有四种情况：
△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，
其中能够组成等腰三角形的有△ACD、△BCD两种情况，
则能够组成等腰三角形的概率为，
故选A．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
7．（2020·邯郸市汉光中学九年级月考） ( http: / / www.21cnjy.com )小刚和小丽一起玩一种转盘游戏．转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，固定指针转动转盘，任其自由停止．若指针所指的数字为奇数，小刚获胜；否则小丽获胜．此规则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．公平 B．对小丽有利
C．对小刚有利 D．公平性不可预测
【答案】C
【分析】
用奇数的个数除以总个数即可得出答案．
【详解】
解：∵转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，其中奇数有2个，
∴在该游戏中小刚获胜的概率是，小丽获胜的概率是，
∵＞，
∴对小刚有利，
故选：C．
【点睛】
此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．21教育名师原创作品
8．（2020·江西吉安市·九年级期中）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④，⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据菱形的判定方法求解即可．
【详解】
解：：①；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定是菱形；
②；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定是矩形；
③；是本身具有的性质，无法判定是菱形；
④，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形；
⑤．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定是矩形
∴共有5种等可能结果，其中符合题意的有2种
∴能判定是菱形的概率为
故选：B．
【点睛】
本题考查概率的计算及菱形的判定，掌握菱形的判定方法正确分析推理是解题关键．
9．（2020·四川省新都县第四中学九年级期中）下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：
投篮次数n 100 150 300 500 800 1000
投中次数m 58 96 174 302 484 601
投中频率 0.580 0.640 0.580 0.604 0.605 0601
这名球员投篮一次，投中的概率约是（ ）
A．0.55 B．0.60 C．0.70 D．0.50
【答案】B
【分析】
根据频率估计概率的方法结合表格可得答案.
【详解】
由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，
这名球员投篮一次，投中的概率约是.
故选择：.
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定.2·1·c·n·j·y
10．（2020·湖南长沙同升湖实验学 ( http: / / www.21cnjy.com )校九年级期中）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）www-2-1-cnjy-com
A．15个 B．25个 C．35个 D．45个
【答案】C
【分析】
利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.3，根据概率公式计算即可．
【详解】
∵小红通过多次摸球试验后发现，估计摸到黄球的概率为0.3，
∴黄球的个数为50×0.3=15，
则白球可能有50-15=35个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重 ( http: / / www.21cnjy.com )复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．2-1-c-n-j-y
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（2021·沭阳红岩学校九年级期末）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率________．【版权所有：21教育】
【答案】
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，
则恰有一个篮子为空的概率为．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概 ( http: / / www.21cnjy.com )率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（2021·黑龙江齐齐哈尔 ( http: / / www.21cnjy.com )市·九年级期末）在数学兴趣小组中某一组有女生4名，男生2名，随机指定两人参加比赛，恰好是两名男生的概率是__________．
【答案】
【分析】
分别列举所有可能的情况，再找出符合题意的情况即可求出概率．
【详解】
设女生分别为甲、乙、丙、丁，男生为A、B．则指定的两人可能是以下结果（甲和乙）、（甲和丙）、（甲和丁）、（甲和A）、（甲和B）、（乙和丙）、（乙和丁）、（乙和A）、（乙和B）、（丙和丁）、（丙和A）、（丙和B）、（丁和A）、（丁和B）、（A和B）．所以只有指定的两人是（A和B）时符合题意，此时概率为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查用列举法概率，正确的列出题意中所有可能的结果是解题的关键．
13．（2020·郑州市·河南省实验中学 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级月考）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是____．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【分析】
画树状图列出所有可能，再根据能发光有多少种可能，直接求出概率．
【详解】
画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种结果，∴小灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
14．（2020·辽宁沈阳市·九年级期末）从，，1，2中任取一个数作为a的值，使抛物线（a，b，c是常数）的开口向上的概率为___．
【答案】
【分析】
直接利用二次函数的开口向上a＞0，再利用概率公式得出答案．
【详解】
解：当抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）的开口向上时，a＞0，
∴从，-1，1，2中任取一个数作为a的值，使抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）的开口向上的概率为：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了概率公式和二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
15．（2020·重庆北碚区·西南大学附中九年级月考）已知关于x的一元二次方程，从2和3中任选一个数作为b的值，从1，2，中任选一个数作为c的值，则该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率为______．www.21-cn-jy.com
【答案】
【分析】
画树状图得出所有等可能的情况数，找出该一元二次方程有两个不相等的实数根的结果数，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
对于x2+2x+1=0时，b2-4ac=0，方程有2个相等的实数根；
对于x2+2x+2=0时，b2-4ac=-4<0，方程没有实数根；
对于x2+2x+=0时，b2-4ac=2>0，方程有2个不相等的实数根；
对于x2+3x+1=0时，b2-4ac=5>0，方程有2个不相等的实数根；
对于x2+3x+2=0时，b2-4ac=1>0，方程有2个不相等的实数根；
对于x2+3x+=0时，b2-4ac=7>0，方程有2个不相等的实数根；
∴共有6个等可能的结果，使b2-4c＞0的结果有4个，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率为，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式、列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．（2021·全国七年级）一个口袋 ( http: / / www.21cnjy.com )中有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球．请你估计这个口袋中有______个红球．
【答案】10
【分析】
用总球的个数乘以摸到红球的概率即可得出口袋中红球的数量．
【详解】
解：根据题意得：50×=10（个），
∴这个口袋中有10个红球．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大 ( http: / / www.21cnjy.com )量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
17．（2020·渝中区·重庆巴蜀中 ( http: / / www.21cnjy.com )学九年级期中）从﹣8，﹣2，1，4这四个数中任取两个数分别作为二次函数y＝ax2+bx+1中a、b的值，恰好使得该二次函数当x＞2时，y随x的增大而增大的概率是_____．
【答案】0
【分析】
先画出树状图，共有12个等可能的结果，恰好使得该二次函数当x＞2时，y随x的增大而增大的结果有0个，再由概率公式即可得出答案．
【详解】
解：画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有12个等可能的结果，恰好使得该二次函数当x＞2时，y随x的增大而增大的结果有0个，
∴恰好使得该二次函数当x＞2时，y随x的增大而增大的概率为：=0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状 ( http: / / www.21cnjy.com )图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了二次函数的性质．
三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）已知一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球.
（1）求从袋中任意摸出一个球是红球的概率；
（2）若要使摸到红球的概率为，则需要在这个口袋中再放入多少个红球？
【答案】（1）从袋中任意摸出一个球是红球的概率为；（2）需要在这个口袋中再放入27个红球．
【分析】
（1）用红球的个数除以总球的个数即可得出答案；
（2）设需要在这个口袋中再放入x个红球，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球，共有18个球，
∴任意摸出一球，摸到红球的概率是；
（2）设需要在这个口袋中再放入x个红球，根据题意得：
，
解得：x=27，
经检验x=27是原方程的解，
答：需要在这个口袋中再放入27个红球．
【点睛】
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（2020·河南许昌市·九年级月考）一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：【来源：21cnj*y.co*m】
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个．
（2）现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率．
【答案】（1）0.33，2；（2）．
【分析】
（1）通过表格中的数据，可以发现摸到白球的频率越稳定在0.33左右即可解答；再利用频率估计概率，最后利用概率的计算公式即可计算红球的个数；
（2）先根据题意画出树状图，然后由树状图确定所有等可能的结果和摸到一个白球一个红球的结果数，最后利用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；
设红球由x个，由题意得：
，解得：x≈2，经检验：x=2是分式方程的解；
故答案为：0.33，2；
（2）画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有9种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
∴摸到一个白球一个红球的概率为：；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了利用频率估计概率、运用树状图法求概率以及概率公式的应用，估算出摸到白球的概率成为解答本题的关键．
20．（2021·陕西西安市·九年级期末）2020年6月1日，李克强总理称赞地摊经济、小店经济是人间的烟火，是中国的生机．一时间，祖国大地上掀起了一股地摊经济的热潮．根据城管部门统一规划，甲，乙两兄弟只能从四个街道中各随机选取一个街道摆地摊．
（1）“甲，乙两兄弟都到街道摆地摊”是________事件．（填“必然”，“不可能”或“随机”）
（2）试用画树状图或列表的方法求甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率．
【答案】（1）不可能；（2）
【分析】
（1）根据甲，乙两兄弟都到街道摆地摊的概率为0，即可判断；
（2）列表展示出所有16种等可能的结果，再找出甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有4种，最后根据概率公式即可求解．
【详解】
解：（1）不可能．
（2）
甲乙
根据列表可知共有16种等可能的结果，甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有4种，
∴甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率为．
【点睛】
本题考查列表法或画树状图求概率，解题的关键是列出所有等可能的结果，并指出甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果．
四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（2020·金华市南苑中学 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级月考）为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表
整理情况 频数 频率
非常好 0.21
较好 70 0.35
一般 m
不好 36
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样共调查了___名学生；
（2）m=___；
（3）某学习小组4名学生 ( http: / / www.21cnjy.com )的错题集中，有2本“非常好”(记为A1、A2)，1本“较好”(记为B)，1本“一般”(记为C)，这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．
【答案】（1）200；（2）52；（3）
【分析】
（1）用较好的频数除以较好的频率．即可求出本次抽样调查的总人数；
（2）用总人数乘以非常好的频率，求出非常好的频数，再用总人数减去其它频数即可求出的值；
（3）画出树状图，利用概率公式即可求解．
【详解】
解：（1）本次抽样共调查的人数是：（名；
故答案为：200；
（2）非常好的频数是：（人，
一般的频数是：（人，
故答案为：52；
（3）根据题意画图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，
其中两次抽到的错题集都是“非常好”的情况有2种，
两次抽到的错题集都是“非常好”的概率是．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22．（2020·广西南宁市·九年级期末）有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1，2，3，4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0，1，3的三个小球（除数字不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个 ( http: / / www.21cnjy.com )数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）树状图见解析；；（2）不公平，若这两个数的积小于等于2，则小亮赢；这两个数的积大于2，则小红赢
【分析】
（1）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式求概率即可；
（2）根据题意，求出积为奇数的概率和积为偶数的概率，即可判断游戏是否公平，然后根据概率修改该游戏规则即可．
【详解】
解：（1）画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
由解图可知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，
所以，积为0的概率为．
（2）不公平，
由解图知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种．
所以，积为奇数的概率为，
积为偶数的概率为P2=
因为，所以，该游戏不公平．
这两个数的积小于等于2的概率为，这两个数的积大于2的概率为
∴游戏可修改为：
若这两个数的积小于等于2，则小亮赢；这两个数的积大于2，则小红赢．
【点睛】
此题考查的是求概率问题和判断游戏的公平性，掌握树状图的画法和概率公式是解题关键．
23．（2020·浙江省义乌市稠 ( http: / / www.21cnjy.com )江中学九年级月考）小覃和小莫两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验的结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 12 19 15 18 20 x
（1）求表格中x的值．
（2）计算“3点朝上”的频率．
（3）小覃说：“根据实验，一次实验中出现1点朝上的概率是12%”；小覃的这一说法正确吗？为什么？
（4）小莫说：“如果掷6000次，那么出现5点朝上的次数大概是1500次左右．”小莫的这一说法正确吗？为什么？
【答案】（1）16；（2）；（3）不正确，理由见详解；（4）不正确，理由见详解．
【分析】
（1）总次数减去1、2、3、4、5点出现的次数即可求解；
（2）直接利用概率公式计算即可；
（3）利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可；
（4）利用随机事件发生的概率的意义直接回答即可确定答案．
【详解】
（1）根据题意可得：
总次数100，1点出现的次数是12，2点出现的次数是19，3点出现的次数是15，4点出现次数是18，5点出现的次数是20，
∴x＝100－12－19－15－18－20＝16
（2）3点朝上出现的次数是15
3点朝上出现的频率是；
（3）小覃说说法不正确，因为1点朝上 ( http: / / www.21cnjy.com )的频率为12%，不能说明1点朝上这一事件发生的概率就是12%，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率．
（4）小莫说法是不正确的，因为5点朝上的概率为20%，所以掷6000次，那么出现5点朝上的次数大概是1200次左右．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”，难度一般．
五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（2020·湖南长沙市·长郡中学 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级月考）某校组织八年级部分学生开展庆“五·四”演讲比赛，赛后对全体参赛学生成绩按A、B、C、D四个等级进行整理，得到下列不完整的统计图表．
( http: / / www.21cnjy.com )
等级 频数 频率
A 4 0.08
B 20 a
C b 0.3
D 11 0.22
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）参加此次演讲比赛的学生共有 人， ， ．
（2）请计算扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数；
（3）已知A等级四名同学中包 ( http: / / www.21cnjy.com )括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加县级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．21教育网
【答案】（1）50；0.4；15；（2）144°；（3）．
【分析】
（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；
（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；
（2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；
【详解】
解：（1）参加演讲比赛的学生人数为4÷0.08＝50人，a＝20÷50＝0.4，b＝50×0.3＝15，
故答案为：50、0.4、15；
（2）扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数为360°×0.4＝144°；
（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，
列树形图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，
∴甲、乙两名同学都被选中的概率为．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综 ( http: / / www.21cnjy.com )合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．（2020·四川凉山彝族 ( http: / / www.21cnjy.com )自治州·九年级月考）为实施“精准扶贫”政策，西昌市某校随机抽取了一部分班级对“建档立卡家庭户”的学生人数情况进行了统计，发现各班“建档立卡家庭户”学生的人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求班上有3名“建档立卡家庭户”的学生的班级所占圆心角，并将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有80个班级，请你估计该校共有多少名“建档立卡家庭户”的学生
（3）某爱心人士决定从只有2名“建档立卡家庭 ( http: / / www.21cnjy.com )户”学生的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级的概率．
【答案】（1）54°，图见解析；（2）320；（3）
【分析】
（1）根据6名学生的班级个 ( http: / / www.21cnjy.com )数及百分比求出班级数量，再利用公式求出有3名“建档立卡家庭户”的学生的班级所占圆心角，再计算出有2名学生的班级数即可绘制条形图；
（2）利用公式求出平均数，再乘以80即可得到答案；
（3）列树状图（或列表）解答.
【详解】
解：（1）抽查的班级数量：（个）
有3名学生的班级所占圆心角：
有2名学生的班级数：（个）
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）每个班级“建档立卡家庭户”的平均数：
（名）
答：该校共有320名“建档立卡家庭户”的学生；
（3）设第一个班的两名学生为，，第2个班的两个学生为，，
列树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
（列表如下：）
第1名第2名
共有12种可能，其中2名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级有4种可能，设2名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级为事件A21世纪教育网版权所有
∴.
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合 ( http: / / www.21cnjy.com )运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，会列树状图或列表求事件的概率.21·世纪*教育网
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第25章概率初步单元测试（B卷提升篇）（人教版）
考试范围：第25章概率初步；考试时间：90分钟；总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2021·科尔沁左翼中旗教研室九年级期末）下列事件中，必然发生的为（ ）
A．科左中旗冬季比秋季的平均气温低 B．走到车站公共汽车正好开过来
C．打开电视机正转播世锦赛实况 D．掷一枚均匀硬币正面一定朝上
2．（2021·辽宁沈阳市·九年级期末）从甲、乙、丙、丁四人中抽调一人参加“抗疫”志愿者服务队，恰好抽到丙的概率是（ ）21教育网
A． B． C． D．
3．（2019·瑞安市新纪 ( http: / / www.21cnjy.com )元实验学校九年级期末）现有背面完全相同的四张扑克牌，牌面数字分别是2，3，4，5，洗匀后背面朝上，则从中任意翻开一张是2的倍数的概率为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
4．（2021·上海九年级专题练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）一个不透明的盒子中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件； B．摸到白球是不可能事件；
C．摸到红球和摸到白球的可能性相等； D．摸到红球比摸到白球的可能性大．
5．（2020·浙江省义乌市稠江中学九年级月考）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．某校九年级共有428人，至少有两人的生日一样 B．经过路口，恰好遇到绿灯
C．打开电视，正在播放广告 D．抛一枚硬币，正面朝上
6．（2020·浙江杭州市·九年级）如图，的正方形网格中，在四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
7．（2020·邯郸市汉光中 ( http: / / www.21cnjy.com )学九年级月考）小刚和小丽一起玩一种转盘游戏．转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，固定指针转动转盘，任其自由停止．若指针所指的数字为奇数，小刚获胜；否则小丽获胜．此规则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．公平 B．对小丽有利
C．对小刚有利 D．公平性不可预测
8．（2020·江西吉安市·九年级期中）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④，⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·四川省新都县第四中学九年级期中）下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：
投篮次数n 100 150 300 500 800 1000
投中次数m 58 96 174 302 484 601
投中频率 0.580 0.640 0.580 0.604 0.605 0601
这名球员投篮一次，投中的概率约是（ ）
A．0.55 B．0.60 C．0.70 D．0.50
10．（2020·湖南长沙 ( http: / / www.21cnjy.com )同升湖实验学校九年级期中）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）21·cn·jy·com
A．15个 B．25个 C．35个 D．45个
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（2021·沭阳红岩学校九年级期末）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率________．21世纪教育网版权所有
12．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）在数学兴趣小组中某一组有女生4名，男生2名，随机指定两人参加比赛，恰好是两名男生的概率是__________．21·世纪*教育网
13．（2020·郑州市·河南省实 ( http: / / www.21cnjy.com )验中学九年级月考）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是____．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
14．（2020·辽宁沈阳市·九年级期末）从，，1，2中任取一个数作为a的值，使抛物线（a，b，c是常数）的开口向上的概率为___．【来源：21cnj*y.co*m】
15．（2020·重庆北碚区·西南大学附中九年级月考）已知关于x的一元二次方程，从2和3中任选一个数作为b的值，从1，2，中任选一个数作为c的值，则该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率为______．
16．（2021·全国七年级）一个口袋中有红 ( http: / / www.21cnjy.com )球、白球共50个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球．请你估计这个口袋中有______个红球．
17．（2020·渝中区 ( http: / / www.21cnjy.com )·重庆巴蜀中学九年级期中）从﹣8，﹣2，1，4这四个数中任取两个数分别作为二次函数y＝ax2+bx+1中a、b的值，恰好使得该二次函数当x＞2时，y随x的增大而增大的概率是_____．
三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）已知一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球.
（1）求从袋中任意摸出一个球是红球的概率；
（2）若要使摸到红球的概率为，则需要在这个口袋中再放入多少个红球？
19．（2020·河南许昌市·九年级月考）一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个．www.21-cn-jy.com
（2）现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率．www-2-1-cnjy-com
20．（2021·陕西西安市·九年级期末）2020年6月1日，李克强总理称赞地摊经济、小店经济是人间的烟火，是中国的生机．一时间，祖国大地上掀起了一股地摊经济的热潮．根据城管部门统一规划，甲，乙两兄弟只能从四个街道中各随机选取一个街道摆地摊．21*cnjy*com
（1）“甲，乙两兄弟都到街道摆地摊”是________事件．（填“必然”，“不可能”或“随机”）
（2）试用画树状图或列表的方法求甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率．
四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（2020·金华市南苑 ( http: / / www.21cnjy.com )中学九年级月考）为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表21教育名师原创作品
整理情况 频数 频率
非常好 0.21
较好 70 0.35
一般 m
不好 36
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样共调查了___名学生；
（2）m=___；
（3）某学习小组4名学生的错题集中， ( http: / / www.21cnjy.com )有2本“非常好”(记为A1、A2)，1本“较好”(记为B)，1本“一般”(记为C)，这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．【版权所有：21教育】
22．（2020·广西南宁市·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1，2，3，4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0，1，3的三个小球（除数字不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．21*cnjy*com
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是： ( http: / / www.21cnjy.com )若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．
( http: / / www.21cnjy.com )
23．（2020·浙江省义乌市稠江中学 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级月考）小覃和小莫两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验的结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 12 19 15 18 20 x
（1）求表格中x的值．
（2）计算“3点朝上”的频率．
（3）小覃说：“根据实验，一次实验中出现1点朝上的概率是12%”；小覃的这一说法正确吗？为什么？
（4）小莫说：“如果掷6000次，那么出现5点朝上的次数大概是1500次左右．”小莫的这一说法正确吗？为什么？2·1·c·n·j·y
五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（2020·湖南长沙市·长郡中学九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级月考）某校组织八年级部分学生开展庆“五·四”演讲比赛，赛后对全体参赛学生成绩按A、B、C、D四个等级进行整理，得到下列不完整的统计图表．
( http: / / www.21cnjy.com )
等级 频数 频率
A 4 0.08
B 20 a
C b 0.3
D 11 0.22
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）参加此次演讲比赛的学生共有 人， ， ．
（2）请计算扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数；
（3）已知A等级四名同学中包括来 ( http: / / www.21cnjy.com )自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加县级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．21cnjy.com
25．（2020·四川凉山彝 ( http: / / www.21cnjy.com )族自治州·九年级月考）为实施“精准扶贫”政策，西昌市某校随机抽取了一部分班级对“建档立卡家庭户”的学生人数情况进行了统计，发现各班“建档立卡家庭户”学生的人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求班上有3名“建档立卡家庭户”的学生的班级所占圆心角，并将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有80个班级，请你估计该校共有多少名“建档立卡家庭户”的学生
（3）某爱心人士决定从只有2名“建档立卡 ( http: / / www.21cnjy.com )家庭户”学生的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级的概率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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