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第23章旋转单元测试（A卷基础篇）（人教版）
考试范围：第23章旋转；考试时间：90分钟；总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2021·随州市曾都区实验中学九年级期末）下列现象中属于旋转的有（ ）个
①地下水位逐年下降 ②传送带的移动 ③方向盘的转动 ④水龙头开关的转动 ⑤钟摆的运动 ⑥荡秋千运动21·cn·jy·com
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2020·黑龙江大庆市·八年级期末）如图，中，，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，则的度数为（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
3．（2020·三门峡市外国语中学九年级期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，当点B，C，D恰好在同一直线上时，，则的度数为（ ）
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A．50° B．75° C．65° D．60°
4．（2020·天津东丽区·九年级期中）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·济南明湖中学八年级期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
6．（2020·富顺县北湖实验学校九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，，若将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．
7．（2020·河南周口市·七年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．45° B．55° C．60° D．65°
8．（2020·厦门市莲花中学九年级月考）如图，和都是等边三角形，旋转后与重合，则可以作为旋转中心的点有（ ）2·1·c·n·j·y
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A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
9．（2021·全国）如图，把边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形 ，边与交于点，则四边形 的周长是（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
10．（2020·安陆市李店镇中学九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，2），AC＝4，则这种变换可以是（ ）
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A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移2
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移2
C．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移6
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移6
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（2020·广东实验中学附属天河学校九年级月考）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转38所得到的图形，点C恰好在AB上，，则的度数是_____．21教育网
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12．（2020·湖北黄冈市·九年级期中）在正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，不是中心对称图形的是_________．21cnjy.com
13．（2020·上海嘉定区·七年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转_________度与它本身重合．【来源：21cnj*y.co*m】
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14．（2020·黑龙江伊春市·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）在平面直角坐标系xoy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′， 则点A′的坐标是____________．【出处：21教育名师】
15．（2021·全国八年级）如图，绕点旋转得到，恰好使点旋转后落在直线上的点处，已知，，则________．【版权所有：21教育】
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16．（2020·浙江杭州市·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝4，CE＝3，则DE＝_____．21教育名师原创作品
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17．（2020·湖北十 ( http: / / www.21cnjy.com )堰市·九年级期中）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC=6，∠ACB=90°，点O是斜边AB上一点，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，连接OQ，OQ的最小值为____．
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三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（2020·上海宝山区·七年级期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出关于点O中心对称的：
（2）请画出关于直线OB的轴对称图形．
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19．（2020·安陆市涢东学校八年级月考）如图，中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． www.21-cn-jy.com
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（1）求证：EF =BC；
（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数
20．（2020·黑龙江哈 ( http: / / www.21cnjy.com )尔滨市·九年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，求FM的长．
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四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（2020·宁津县育新中学九年级月考）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
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（1）如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？
22．（2020·安阳市第十中学九年级月考）如图，已知点、、．
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（1）将绕点O按顺时针方向旋转90°得，画出，并写出点C的对应点的坐标为______；
（2）画出关于原点成中心对称的图形，并写出点A的对应点的坐标为______；
（3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为_____．
23．（2020·江苏南通市·南 ( http: / / www.21cnjy.com )通田家炳中学九年级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，CD＝4，求AD的长．
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五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（2020·湖北孝感市·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6．以点A为中心，逆时针旋转矩形ABCD，得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）如图1，当点E落在边CD上时，求线段CE的长；
（2）如图2，当点E落在线段CF上时，求证：∠EAC＝∠BAC；
（3）在（2）的条件下，CD与AE交于点H，求线段DH的长．
25．（2020·福建莆田市·九年级期中）如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．21*cnjy*com
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（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
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第23章旋转单元测试（A卷基础篇）（人教版）
考试范围：第23章旋转；考试时间：90分钟；总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2021·随州市曾都区实验中学九年级期末）下列现象中属于旋转的有（ ）个
①地下水位逐年下降 ②传送带的移动 ③方向盘的转动 ④水龙头开关的转动 ⑤钟摆的运动 ⑥荡秋千运动21·世纪*教育网
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：①地下水位逐年下降，是平 ( http: / / www.21cnjy.com )移现象；
②传送带的移动，是平移现象；
③方向盘的转动，是旋转现象；
④水龙头开关的转动，是旋转现象；
⑤钟摆的运动，是旋转现象；
⑥荡秋千运动，是旋转现象．
属于旋转的有③④⑤⑥共4个．
故选：B．21*cnjy*com
【点睛】
本题考查了生活中的平移与旋转，是基础题，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键．
2．（2020·黑龙江大庆市·八年级期末）如图，中，，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，则的度数为（ ）【版权所有：21教育】
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据∠BAC′=∠CAC′-∠CAB计算即可解决问题．
【详解】
∵∠CAC′=70°，∠CAB=36°，
∴∠BAC′=∠CAC′-∠CAB=70°-36°=34°，
故选：A．21cnjy.com
【点睛】
本题考查了旋转变换，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2020·三门峡市外国语中学九年级期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，当点B，C，D恰好在同一直线上时，，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．50° B．75° C．65° D．60°
【答案】C
【分析】
由旋转的性质得出AD=AB，∠E=∠ACB，由点B，C，D恰好在同一直线上，则△BAD是底角为15°的等腰三角形，求出∠BAD=150°，可得，由三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴AD=AB，∠E=∠ACB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是底角为15°的等腰三角形，
∴∠BDA=，【来源：21·世纪·教育·网】
∴∠BAD=150°,
∵，
∴
∴，
∴.
故选：C
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．
4．（2020·天津东丽区·九年级期中）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（2020·济南明湖中学八年级期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．
【详解】
解：∵CC′∥AB，∠CAB=75°， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴∠C′CA=∠CAB=75°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=30°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
6．（2020·富顺县北湖实验学校九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，，若将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝60°，故△ACE是等边三角形，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE＝45°，∠AEB＝30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后在根据勾股定理求解．
【详解】
连结CE，设BE与AC相交于点F，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE，
又∵旋转角为60°，
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝CE＝AE＝4，
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE （SSS），
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°，
∴在△ABF中，∠BFA＝180° 45° 45°＝90°，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
BF＝AF＝AB＝2，
又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，
FE＝AF＝2，
∴BE＝BF＋FE＝2＋2，
故选：C．
【点睛】
此题是旋转性质题，解决此题，关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用．
7．（2020·河南周口市 ( http: / / www.21cnjy.com )·七年级期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（ ）
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A．45° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【分析】
根据旋转的性质确定旋转角，再由∠AOD=∠AOB+∠BOD求解即可．
【详解】
根据旋转的性质可知：∠BOD=40°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=55°，
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转的性质，根据题意确定旋转角是解题关键．
8．（2020·厦门市莲花中学九年级月考）如图，和都是等边三角形，旋转后与重合，则可以作为旋转中心的点有（ ）
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A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
【答案】C
【分析】
由等边三角形的性质得AD＝AB＝B ( http: / / www.21cnjy.com )D＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB＝60°，要把△ABD旋转后与△BCD重合，可选择B点或D点或BD的中点为旋转中心．
【详解】
解：∵△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB＝60°，
∴将△ABD绕点B顺时针旋转 ( http: / / www.21cnjy.com )60°可得到△DBC或将△ABD绕点D逆时针旋转60°可得到△BCD或将△ABD绕BD的中点旋转180°可得到△CDB．即可选择B点或D点或BD的中点作为旋转中心．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质等知识点，掌握旋转的性质成为解答本题的关键．
9．（2021·全国）如图，把边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形 ，边与交于点，则四边形 的周长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由边长为3的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，利用勾股定理的知识求出 的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，，从而可求四边形的周长．
【详解】
解：如图，连接．
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∵旋转角，
∴，
∴在对角线上．
∵，
在中，，
∴．
在等腰中，，
∴，
∴，
∴四边形的周长是：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
10．（2020·安陆市李店镇中学九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级月考）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，2），AC＝4，则这种变换可以是（ ）
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A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移2
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移2
C．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移6
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移6
【答案】C
【分析】
观察各选项，先旋转在平移，则要顺时针旋转90°，由于AC=4，OC=2，则旋转后的三角形要向下平移6个单位得到Rt△ODE，据此解题．21世纪教育网版权所有
【详解】
把Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，在向下平移6个单位可得到Rt△ODE，
故选：C．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化，平移、旋转等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（2020·广东实验中学附属天河学校九年级月考）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转38所得到的图形，点C恰好在AB上，，则的度数是_____．21教育网
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【答案】57°
【分析】
根据题意可先求得∠OCA和∠COB，再利用三角形的外角定理求解∠B即可．
【详解】
由旋转的性质可知：∠AOC=∠BOD=38°，
∵点C恰好在AB上，
∴OA=OC，∠OCA=∠A=(180°-38°)÷2=71°，
又∵∠AOD=90°，
∴∠COB=90°-2×38°=14°，
则根据三角形外角定理：∠B=∠OCA-∠COB=71°-14°=57°，
故答案为：57°．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，及等腰三角形的判定与性质，三角形的外角定理，熟练运用所学知识准确快速的分析题中角度的关系是解题关键．www-2-1-cnjy-com
12．（2020·湖北黄冈市·九年级期中）在正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，不是中心对称图形的是_________．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】正三角形 ．
【分析】
结合中心对称图形的概念求解即可．
【详解】
解：在正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，不是中心对称图形的是：正三角形．
故答案为：正三角形．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
13．（2020·上海嘉定区·七年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转_________度与它本身重合．www.21-cn-jy.com
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【答案】360
【分析】
根据旋转对称图形的定义即可得．
【详解】
点M是边CD的中点，不是正方形ABCD的中心，
正方形ABCD绕点M至少旋转360度才能与它本身重合，
故答案为：360．
【点睛】
本题考查了旋转对称图形，掌握理解定义是解题关键．
14．（2020·黑龙江 ( http: / / www.21cnjy.com )伊春市·九年级期末）在平面直角坐标系xoy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′， 则点A′的坐标是____________．21教育名师原创作品
【答案】
【分析】
先作出图形，然后写出坐标即可．
【详解】
解：如图：
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则A′的坐标是．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的旋转变换，根据题意正确画出图形成为解答本题的关键．
15．（2021·全国八年级）如图，绕点旋转得到，恰好使点旋转后落在直线上的点处，已知，，则________．
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【答案】55°
【分析】
根据三角形的外角性质，求出，∠ACF的度数，根据等腰三角形的性质，得∠AEB的度数，结合旋转的性质和三角形内角和定理，即可求解21*cnjy*com
【详解】
解： ∵，且，
∴ ，
∵绕点旋转得到，
∴，，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，图形旋转的性质，熟练掌握上述性质，是解题的关键．
16．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝4，CE＝3，则DE＝_____．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】5
【分析】
将△ABD绕点A逆时针旋转至△ ( http: / / www.21cnjy.com )ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，先证△AED≌AED'（SAS），得DE＝D'E，再证∠ECD＝90°，然后由勾股定理求出D'E＝5，即可得出答案．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，如图所示：
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则CD'＝BD＝4，∠CAD'＝∠BAD，AD'＝AD，∠ACD'＝∠B＝45°，
∴∠DAD'＝∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠D'AE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAE＝∠D'AE，
在△AED和△AED'中，
，
∴△AED≌AED'（SAS），
∴DE＝D'E，
∵∠ECD'＝∠ACB+∠ACD'＝45°+45°＝90°，
∴D'E＝＝＝5，
∴DE＝5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
17．（2020·湖北十堰市·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC=6，∠ACB=90°，点O是斜边AB上一点，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，连接OQ，OQ的最小值为____．
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【答案】6
【分析】
连接OQ，根据旋转的性质得出△BOC△AQC，从而证得∠OCQ=90°，OC=OQ，得出OQ=CO，当CO⊥AB时，OQ有最小值，再根据等腰三角形的性质即可得出OQ的最小值
【详解】
解：连接OQ，
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∵△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，
∴△BOC△AQC，
∴OC=OQ，∠OCB=∠QCA
∵∠ACB=90°，
∴∠OCQ=90°，
∴OQ=CO，
∴当CO最小时，OQ最小
此时，CO⊥AB
∵AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴AB=AC=，
∴CO=
∴OQ的最小值=CO=
故答案为：6
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、旋转的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中等题．
三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（2020·上海宝山区·七年级期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出关于点O中心对称的：
（2）请画出关于直线OB的轴对称图形．
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【答案】（1）图见解析；（2）图见解析
【分析】
（1）找出A、B、C关于点O的对称点，顺次连接即可；
（2）找出A、B、C关于直线OB的对称点，顺次连接即可．
【详解】
解：（1）找出A、B、C关于点O的对称点并顺次连接，如图所示：即为所求；
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（2）找出A、B、C关于直线OB的对称点并顺次连接，如上图所示：即为所求．
【点睛】
此题考查的是轴对称和中心对称图形，先找出已知三角形各顶点的对应点是解题关键．
19．（2020·安陆市涢东学校八年级月考）如图，中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
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（1）求证：EF =BC；
（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数
【答案】（1）见解析；（2）78°
【分析】
（1）由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出．
【详解】
（1）证明：，
．
将线段绕点旋转到的位置，
．
在与中，
，
，
；
（2）解：，，
，
．
，
，
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键．
20．（2020·黑龙江哈尔滨市·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，求FM的长．
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【答案】
【分析】
由旋转可得DE=DM，∠ED ( http: / / www.21cnjy.com )M为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．
【详解】
解：∵ DAE逆时针旋转90°得到 DCE，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在 DEF和 DMF中，
∴ DEF≌ DMF(SAS)，
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=4，
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，
∵EB=AB-AE=3-1=2，
在Rt EBF中
即
解得x=，
∴FM=
【点睛】
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（2020·宁津县育新中学九年级月考）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
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（1）如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？
【答案】（1）见解析；（2）当α=60°或300°时，GC＝GB．
【分析】
（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；
（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．
【详解】
（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴CD＝DF；
（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
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∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
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∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用．2·1·c·n·j·y
22．（2020·安阳市第十中学九年级月考）如图，已知点、、．
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（1）将绕点O按顺时针方向旋转90°得，画出，并写出点C的对应点的坐标为______；
（2）画出关于原点成中心对称的图形，并写出点A的对应点的坐标为______；
（3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为_____．
【答案】（1）画图见详解，（2，-3）；（2）画图见详解，（-2，-4）；（3）画图见详解，（4，5）或（0，3）或（2，-1）【出处：21教育名师】
【分析】
（1）分别作出A，B，C的对 ( http: / / www.21cnjy.com )应点A1，B1，C1即可解决问题；
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可解决问题；
（3）根据平行四边形的定义，画出图形写出坐标即可．
【详解】
（1）如图，即为所求，点C1的坐标为（2，-3），
故答案是：（2，-3）；
（2）即为所求，点C2的坐标为（-2，-4），
故答案是：（-2，-4）；
（3）满足条件的点D坐标是：（4，5）或（0，3）或（2，-1），
故答案是：（4，5）或（0，3）或（2，-1）．
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【点睛】
本题主要考查图形与坐标，图形的旋转，中心对称以及平行四边形的定义，熟练掌握图形的旋转变换以及平行四边形的定义，是解题的关键．
23．（2020·江苏南通市· ( http: / / www.21cnjy.com )南通田家炳中学九年级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，CD＝4，求AD的长．
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【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由旋转的性质可得，再根据全等三角形的性质、等式的性质、等边三角形的性质可得，由对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得；
（2）连接，结合（1）的结论根据等边三角形的性质、全等三角形的性质、角的和差等可求得，再利用勾股定理可求得，从而可得．
【详解】
解：（1）∵将绕点按顺时针方向旋转得到
∴
∴，
∴，即
∵是等边三角形
∴
∵
∴
∴．
（2）连接，如图：
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∵由（1）可知，
∴是等边三角形
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，灵活运用相关定理、添加辅助线是解题的关键．
五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（2020·湖北孝感市·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6．以点A为中心，逆时针旋转矩形ABCD，得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G．
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（1）如图1，当点E落在边CD上时，求线段CE的长；
（2）如图2，当点E落在线段CF上时，求证：∠EAC＝∠BAC；
（3）在（2）的条件下，CD与AE交于点H，求线段DH的长．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由旋转的性质知AB=AE=1 ( http: / / www.21cnjy.com )0，由矩形的性质得出AD=BC=6，∠BAD=∠D=90°，由勾股定理得出DE=8，即可得出答案；
（2）由旋转的性质知∠AEF=∠BAD=90°，AE=AB，证明Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），即可得出结论；
（3）设DH=x，由矩形的性质得出CH=CD-DH=10-x，∠DCA=∠BAC，证出∠DCA=∠EAC，得出AH=CH=10-x，在Rt△ADH中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案．2-1-c-n-j-y
【详解】
（1）解：由旋转的性质知：AB＝AE＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°，
∴DE＝＝＝8，
∵CD＝AB＝10，
∴CE＝DC﹣DE＝10﹣8＝2；
（2）证明：由旋转的性质知：∠AEF＝∠BAD＝90°，AE＝AB，
∵点E落在线段CF上，
∴∠AEC＝∠AEF＝90°，
在Rt△ABC和Rt△AEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），
∴∠EAC＝∠BAC；
（3）解：设DH＝x，
在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝10，
∴CH＝CD﹣DH＝10﹣x，∠DCA＝∠BAC，
又∵∠EAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AH＝CH＝10﹣x，
在Rt△ADH中，∵DH2+AD2＝AH2，
∴x2+62＝（10﹣x）2，
解得：x＝，
∴DH＝．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、旋转 ( http: / / www.21cnjy.com )变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键．
25．（2020·福建莆田市·九年级期中）如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
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（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）， ；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）98
【分析】
（1）根据题意可证得，利用三角形的中位线定理得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线定理得出，得出，通过角的转换得出与互余，证得．
（2）先证明，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论．
（3）当最大时，的面积最大，而最大值是，，计算得出结论．
【详解】
（1）线段PM与PN的数量关系是，位置关系是．
∵等腰中，，
∴AB=AC，
∵AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，
∴BD=CE，
∵点，，分别为，，的中点，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵（两直线平行内错角相等），
∴，
∴．
（2）是等腰直角三角形．
证明：由旋转可知，，
，，
∴，
∴，，
根据三角形的中位线定理可得，，，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法可得，，
∴，
同（1）的方法得，，
，
∵，
∴
，
∵，∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，
∴最大时，面积最大，
∵点在的延长线上，BD最大，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理，等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握中位线定理是解题关键．21·cn·jy·com
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