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)课时24.3 正多边形和圆
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
画圆内接正多边形方法：
量角器
（作法操作复杂，但作图较准确）
量角器+圆规
（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）
圆规+直尺
（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..） (
典例及变式
)
典例1．（2020·南通市九年级期中）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
变式1-1．（2020·长沙市九年级期中）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．60° B．36° C．76° D．72°
变式1-2．（2021·安徽合肥市·九年级期末）如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，己知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C．12 D．24
典例2．（2020 邵阳市期末）已知，正六边形的边长为2，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
变式2-1．（2021·天津九年级期末）若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形
变式2-2．（2020·江苏宿迁市·九年级期末）如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
变式2-3．（2020·上海市期末）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
典例3．（2021·天津九年级期末）如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作弦BC于点M，若的半径为4，则弦心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
变式3-1．（2021·河北承德市·九年级期末）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（ ）
A．∶ 3 B．∶1 C．∶ D．1∶
变式3-2．（2021·山东九年级期末）如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（ ）
变式3-3．（2021·云南昭通市·九年级期末）边长为的正六边形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
变式3-4．（2021·山西阳泉市·九年级期末）如图，正六边形内接于，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式3-5．（2021·广西玉林市·九年级期中）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
典例4．已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
变式4-1．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．
变式4-2．（2021·湖北武汉市·九年级期末）如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D．
（1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___．
（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：
①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
1．（2021·河北邯郸市·九年级期末）如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·民勤县九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A． B． C． D．
3．（2021·河北承德市·九年级期末）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·杭州市九年级期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
5．（2021·天津九年级期末）半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A．1：： B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3
6．（2021·郑州市九年级期末）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2021·惠水县九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
8．（2021·河南九年级期末）如图是半径为2的⊙O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．（2021·北京朝阳区·九年级期末）若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2021·南通市九年级期中）在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（ ）
A． B．5 C． D．5
11．（2021·河南九年级期末）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_______．
12．（2021·江苏九年级期末）如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是______．
13．（2021·高邮市九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD＝____°．
14．（2021·广西九年级期末）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需_____个五边形．
15．（2021·山东泰安市·九年级期末）若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为______．
16．（2021·安徽六安市期末）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数．
17．（2020·江苏九年级期中）如图，在半径为10cm的圆中作一个正六边形ABCDEF，试求此正六边形的面积．
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)课时24.3 正多边形和圆
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
画圆内接正多边形方法：
量角器
（作法操作复杂，但作图较准确）
量角器+圆规
（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）
圆规+直尺
（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..） (
典例及变式
)
典例1．（2020·南通市九年级期中）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
【答案】B
【提示】
利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．
【详解】
解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°．
故选B．
【名师点拨】
本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形是解决问题的关键．
变式1-1．（2020·长沙市九年级期中）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．60° B．36° C．76° D．72°
【答案】D
【提示】
根据圆内接正多边形的性质及题意可直接进行求解．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，
故选：D．
【名师点拨】
本题主要考查圆内接正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键．
变式1-2．（2021·安徽合肥市·九年级期末）如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，己知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C．12 D．24
【答案】C
【提示】
如图，先求解正六边形的中心角，再证明是等边三角形，从而可得答案．
【详解】
解：如图，为正六边形的中心，为正六边形的半径，
为等边三角形，
正六边形ABCDEF的周长为
故选：
【名师点拨】
本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键．
典例2．（2020 邵阳市期末）已知，正六边形的边长为2，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】C
【提示】
连接，交于点，先根据正六边形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
解：如图，连接，交于点，
正六边形的边长为2，
，
是等边三角形，
，
同理可得：，
，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质是解题关键．
变式2-1．（2021·天津九年级期末）若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形
【答案】C
【提示】
一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是，用除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
【详解】
由题意可得：
边数为．
则这个多边形是正十边形．
故选：C．
【名师点拨】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和定理，准确理解圆内接正多边形的中心角的特点是解题的关键．
变式2-2．（2020·江苏宿迁市·九年级期末）如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【提示】
连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．
【详解】
连接AO、BO、CO，
∵AC是⊙O内接正四边形的一边，
∴∠AOC＝360°÷4＝90°，
∵BC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12；
故选：D．
【名师点拨】
本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．
变式2-3．（2020·上海市期末）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果．
【详解】
解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，
∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查的是正多边形的中心角的有关计算以及多边形的内角和公式，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．
典例3．（2021·天津九年级期末）如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作弦BC于点M，若的半径为4，则弦心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【提示】
如图，连接OB、OC．首先证明△OBC是等边三角形，求出BC、BM，根据勾股定理即可求出OM．
【详解】
解：如图，连接OB、OC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，OB=OC=4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=4，
∵OM⊥BC，
∴BM=CM=2，
在Rt△OBM中，，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是记住等边三角形的性质，弧长公式，属于基础题，中考常考题型．
变式3-1．（2021·河北承德市·九年级期末）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（ ）
A．∶ 3 B．∶1 C．∶ D．1∶
【答案】A
【提示】
计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出．
【详解】
解：设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为R，
它的内接正六边形的边长为R，
内接正方形和内接正六边形的周长比为：4R：6R＝∶ 3．
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了正多边形和圆，找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．
变式3-2．（2021·山东九年级期末）如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（ ）
A．45° B．60° C．45° 或135° D．60° 或120°
【答案】C
【提示】
首先连接OA，OB，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB的度数．
【详解】
连接OA，OB，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠AOB=90°，
若点P在优弧ADB上，则∠APB=∠AOB=45°；
若点P在劣弧AB上， 则∠APB=180°-45°=135°．
∴∠APB=45°或135°．
故选C．
变式3-3．（2021·云南昭通市·九年级期末）边长为的正六边形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
边长为a的等边三角形的面积是，则边长为a的正六边形的面积等于6×= ．故选C.
变式3-4．（2021·山西阳泉市·九年级期末）如图，正六边形内接于，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
连接BO、CO，根据正六边形的性质可求∠BOC，再根据圆周角的性质可求．
【详解】
解：连接BO、CO，
在正六边形ABCDEF中，∠BOC==60°，
∴∠BAC=∠BOC=30°，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了正六边形的性质和圆周角的性质，连接半径，求圆心角是解题关键．
变式3-4．（2021·广西玉林市·九年级期中）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【提示】
确定AB的长度后即可确定点C的位置．
【详解】
AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了正多边形和圆以及等腰三角形的判定，解题的关键是确定AB的长，难度不大．
典例4．已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【提示】
（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；
（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，，则判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形．
【详解】
解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：
连接BE，如图，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∴，
∴，
∴，
∴BE为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，
同理可得∠FBC=∠CEF=90°，
∴四边形BCEF为矩形．
【名师点拨】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．
变式4-1．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．
【答案】见解析
【提示】
先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB即可．
【详解】
解：如图，四边形ABCD为所作．
【名师点拨】
本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
变式4-2．（2021·湖北武汉市·九年级期末）如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D．
（1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___．
（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：
①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析
【提示】
（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可；
（2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可；
②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴．
【详解】
（1），
∵O为三角形的外心，
∴O为三角形三边中垂线的交点，
又∵三角形为等边三角形，
∴可得CD垂直平分AB，
根据垂径定理可得：；
（2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可；
②如图所示：（方法不唯一）
【名师点拨】
本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
1．（2021·河北邯郸市·九年级期末）如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据圆周角的性质即可求解.
【详解】
连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，
同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，
故∠CPD=,
故选B.
【名师点拨】
此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.
2．（2021·民勤县九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.
【详解】
根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D=∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，
解得∠AOC=120°，
因此∠ADC=60°．
故选C
【名师点拨】
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
3．（2021·河北承德市·九年级期末）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【详解】
∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴ =40°，
故选：A．
【名师点拨】
此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．
4．（2021·杭州市九年级期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】B
【提示】
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．（2021·天津九年级期末）半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A．1：： B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3
【答案】B
【提示】
设圆的半径为R，分别画出圆的内接正三角形、正方形、正六边形，根据锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质，求出边长即可．
【详解】
设圆的半径为R，
如图(一)，
连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB cos30°=R，
故BC=2BD=R；
如图(二)，
连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=R，
故BC=R；
如图(三)，
连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA cos60°=R，AB=2AG=R，
故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R:R:R=::1.
【名师点拨】
本题主要考查圆的正多边形的边长，掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
6．（2021·郑州市九年级期末）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【提示】
结合题意标上字母，作，根据题意可得：是边长为2的等边三角形，等边三角形的高为原来的纸带宽度，在中，根据勾股定理即可求得答案.
【详解】
如图，作，
依题可得：是边长为2的等边三角形，
在中，
∵，，
∴，
即原来的纸宽为.
故答案为C.
【名师点拨】
本题考查正多边形和圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．熟练掌握正六边形的性质．
7．（2021·惠水县九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【提示】
根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数，进而利用平行线的性质得出∠ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=130°，
∴∠C=180°-130°=50°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=25°，
∴∠BDC=180°-25°-50°=105°，
故选B．
【名师点拨】
本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数．
8．（2021·河南九年级期末）如图是半径为2的⊙O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【提示】
过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB＝＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，于是得到结论．
【详解】
解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，
∴OH＝AH＝，
故选：C．
【名师点拨】
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．（2021·北京朝阳区·九年级期末）若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【提示】
根据题意，内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则正n边形的中心角为，由可得结果．
【详解】
解：内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，
正n边形的中心角为，
，
n的值为6，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了正n边形中心角的定义，熟记并理解正n边形中心角的定义是解决本题的关键．
10．（2021·南通市九年级期中）在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（ ）
A． B．5 C． D．5
【答案】B
【提示】
根据正多边形和它的外接圆可知，外接圆的半径就是正多变形的半径，由直径即可得到半径.
【详解】
解：∵正六边形ABCDEF的中，直径BE=10，
∴外接圆的半径为5，
故答案为B.
【名师点拨】
本题考查正多边形和外接圆的性质.关键是把握偶数边的正多边形对角线就是外接圆的直径，也就是正多边形的直径.
11．（2021·河南九年级期末）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_______．
【答案】10
【提示】
连接AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．
【详解】
如图，连接AO,BO，
∴∠AOB=2∠ADB=36°
∴这个正多边形的边数为=10
故答案为：10．
【名师点拨】
此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
12．（2021·江苏九年级期末）如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是______．
【答案】8
【详解】
试题解析：这个多边形的边数是
故答案为8.
13．（2021·高邮市九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD＝____°．
【答案】72
【提示】
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD＝CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．
【详解】
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC ∠CBD＝72°，
故答案为72°．
【名师点拨】
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n 2）×180°是解题的关键．
14．（2021·广西九年级期末）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需_____个五边形．
【答案】7
【提示】
延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案．
【详解】
延长正五边形的相邻两边，交于圆心，
∵正五边形的外角等于360°÷5=72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°-72°-72°=36°，
∴360°÷36°=10，
∴排成圆环需要10个正五边形，
故 排成圆环还需 7个五边形．
故答案为7．
【名师点拨】
本题考查了正五边形与圆的有关运算，属于层次较低的题目，解题的关键是正确地构造圆心角．
15．（2021·山东泰安市·九年级期末）若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为______．
【答案】.
【提示】
连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．
【详解】
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，∵AB⊥OM，∴AM=BM=1，
在△OAM中，由勾股定理得：OM=．
16．（2021·安徽六安市期末）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数．
【答案】54°
【提示】
连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】
如图，连接．
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴90°-36°=54°，
∴的余角的度数为54°．
【名师点拨】
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（2020·江苏九年级期中）如图，在半径为10cm的圆中作一个正六边形ABCDEF，试求此正六边形的面积．
【答案】S正六边形ABCDEF=150cm2．
【提示】
连接OA，OB，且过点O作OH⊥AB，易求△OAB的面积，所以正六边形ABCDEF的面积是6倍的△OAB的面积，问题得解．
【详解】
连接OA，OB，且过点O作OH⊥AB，
由正六边形ABCDEF可得△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=10，∴OH=OAsin60°=10×=5，
∴S△OAB=×AB×OH=×10×5=25，
∴S正六边形ABCDEF=6×25=150cm2 ．
【名师点拨】
本题考查了正多边形和圆，关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于圆的半径．
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