4.3 用方程解决问题（3）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：能利用示意图作为建模策略，分析实际问题中的等量关系列方程解决问题.
过程与方法：经历用方程解决实际问题的过程，提高应用数学的意识.
情感、态度与价值观：进一步体会建构方程模型的作用，培养抽象、概括、分析问题的能力的勇于克服困难的意志.
2.重、难点：示意图的构建和分析.
二、教材处理：
1.情景创设：
简介“中国结”的文化内涵：见教师教学参考资料“课程资源”.
问题情景，见课本P130.
2.学生活动、意义建构、数学理论：
呈现问题后，教师点拨：（1）直接分析：题中两个条件分别交代了计划做“中国结”总数可用含小组成员数（设x）的两个代数式来表示，得方程 5x－9=4x＋15；（2）借助示意图分析相等关系.结合课本示意图，学生
思考：根据问题中的第（2）个条件，这个
小组计划做的中国结多少个？怎样在示意图
上表示？你能根据示意图中线段和或差写出
相等关系吗？并根据相等关系列出方程吗？你能列出几个不同的方程，不妨与同学交流一下.（5x－4x =9＋15；5x－9－15=4x；5x=4x＋15＋9等）
示意图通常可以画成直线图或环形图等，用线段的长或曲线的长来表示某些量，并根据这些线段或曲线的长度关系列出方程.行程类问题中的数量关系多数可以用示意图来表达.
3.数学运用：
例：甲、乙两人在环形跑道上练习跑步.已知环形跑道一圈长400m，乙每秒中跑6m，甲每秒中跑8m.（1）如果甲、乙两人在跑道上相距8m处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？（2）如果甲在乙前面8m处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
安排构思：补充环形示意图和线形示意图的作用，为下节课学习作一准备.
分析：第（1）问是相遇问题，相等关系为：甲的行程＋乙的行程=环形跑道一圈长－8m；第（1）问是追及问题，相等关系为：甲的行程=乙的行程＋相差距离（400一8）m..
教师可以指导学生利用环形示意图
和线形示意图来帮助理清相等关系.
习题见课本P131练一练1，2，3，4.
思维拓展：情景问题若设计划做x个中国结，能不能解决？
课本习题可提高要求，一题多解，变式训练.
4.回顾反思：
（1）利用示意图进行分析是继列表格法之后解决问题的又一个重要手段，示意图帮助我们分析各个量之间的相互关系的一种有效的工具.教学时，可多找一些实例去分析，让学生切身体会示意图的作用.
（2）教学时，多让学生去探索、讨论、交流，来感悟画示意图帮助分析问题、解决问题.
计划做“中国结”的个数
5x个
9个4.3 用方程解决问题（5）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：理解工程类问题中工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系，尝试用一元一次方程解决有关工程类问题.
过程与方法：经历对实际问题具体分析、抽象的过程，进一步熟悉解决问题的策略.
情感、态度与价值观：体验知识之间的内在联系，获得研究问题的方法和经验，发展思维能力.
2.重、难点：分析工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系，寻求问题中的相等关系.
二、教材处理：
1.情景创设：
课本P133问题5 将一批会计报表输入电脑，甲单独做需20h完成，乙单独做需12h完成.现在先由甲单独做4h，剩下的部分由甲、乙合作完成，甲、乙两人合做的时间是多少？
2.学生活动、意义建构、数学理论：
教师点拨：工程类问题涉及三个量之间的关系——工作量、工作时间、工作效率，其中工作量=工作时间×工作效率.
学生分析情景问题，明确这个问题中的相等关系：全部工作量=甲单独做的工作量＋甲、乙合作的工作量.如果把全部工作量看作单位1，则甲单独做的工作量为×4，甲、乙合作的工作量为（ HYPERLINK "http://www." ＋）×问题要求的工作时间.
参考课本借助表格和圆形示意图（略）分析.
全部工作量 甲单独做的工作量 甲、乙合作的工作量
1
3.数学运用：
例题：学校需制作若干块标志牌，请来师徒2名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，请对上述情境提出一个问题？试一试并给予解答，必要时可对情境作适当补充看看谁的问题更有创意.
学生思考、交流.
（①两人合作需几天完成？②师傅先单独做2天，剩下的由徒弟单独做，还需几天完成？③师傅先单独做2天，剩下的由师徒俩共同做，还需几天完成？……）
思维拓展一：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
学生尝试解答这一问题，并与同学们一起交流各自的做法.
思维拓展二：解决课本P134试一试.
习题练习：见课本P135练一练1，2.建议教学时先补充一些关于工程类实际应用问题.
4.回顾反思：
（1）在解决实际问题时，经常画出“表格、示意图”这样的图形帮助寻找等量关系，从而很好的解决问题.表格和示意图是挖掘题中的等量关系的常用方法.学习时，既要学会将文字语言转化为图形语言、符号语言，也要学会将图形语言、符号语言转化为文字语言.通过前几课时的学习，要综合全面的考虑问题，巧借表格、线形示意图、圆形示意图等分析题意，学会比较区别各种方法的优劣，并能加以合理运用.
（2）及时总结各类题型所要常用的基本数量关系.4.3 用方程解决问题（1）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：大致了解用方程解决问题的一般步骤和方法，明确其关键是找出能表示实际问题全部含义的相等关系.
过程与方法：经历活动和思考、交流与讨论、分析解决问题等过程，体会数学的应用价值.
情感、态度与价值观：经历“问题情景——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程，感悟数学建模思想.
2.重、难点：寻找等量关系.
二、教材处理：
1.情景创设：
冰淇淋配料问题，见课本P126.
2.学生活动、意义建构、数学理论：
借用课本中两个卡通人的对话，学生思考：（1）如果用算术解法你能解出结果吗？如何求？（2）若用方程求解，如何设未知数？等量关系式是什么？（3）如果在三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料比是2∶3∶5，那么如何设未知数？
学生在教师指导下完成问题，了解解法步骤：理解题意，找出一个能表示实际问题全部含义的相等关系，分析解答过程，设未知数，再根据相等关系列出方程，解这个方程，并写出答案.在设未知数和作出解答时，应注意量的单位.
3.数学运用：
课本P127问题1：
分析：根据题中关键语句“做这批桌子，恰好用去木材3.8m3”，得相等关系：做桌面的木材＋做桌腿的木材=3.8m3.设共做了x张桌子，做桌面的木材需0.03x m3，做桌腿的木材需4×0.002x m3，方程为0.03x＋4×0.002x=3.8……学生自主解决问题.
习题练习：课本P128练一练1，2；再举例如螺母螺栓、盒身底盖、人员调配问题等.
思维拓展：数学实验室（月历问题），下图提供2005年11月的月历表
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30
问题（1）（2）见课本P128；
（3）根据“数学实验室”中的游戏，请你再编一个游戏，并列出方程求解. 如：
①某列3个数的和为54，这3个数是几？和能为56吗？
②月历中能有2×2矩形方块中的4个数之和为80吗？若有，这四个数之间有什么样的关系？
4.回顾反思：
（1）进一步熟悉解一元一次方程的方法步骤；
（2）弄清楚用一元一次方程解决问题的关键；
（3）根据学生情况，适当补充安排较多类型的问题.如课本P129练一练3，4和教师教学参考资料补充例题.4.3 用方程解决问题（6）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：理解商品销售中的进价、标价、折扣率、利润（率）、售价等概念及其之间的关系.能根据利润=实际售价一进价等数量关系列一元一次方程求解.
过程与方法：进一步体会方程模型的作用，，总结运用方程解决实际问题的一般方法，提高应用数学的意识.
情感、态度与价值观：通过商品销售的学习，使学生认识到数学的应用价值，通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心.
2.重、难点：理清标价、折扣率、利润（率）、售价等数量之间的关系，找准等量关系.
二、教材处理：
1.情景创设：
某商场在销售一种皮装时，为了吸引顾客，先按进价的150%标价，再按标价的8折（标价的80%）出售，结果每件皮装仍获利160元，问这种皮装的进价为每件多少元？
2.学生活动、意义建构、数学理论：
分析：本题含有明显的等量关系是利润=售价－进价.
学生思考：设这种皮装的进价为每件x元，则标价应是 元，售价为 元，列方程是 .
解：设这种皮装的进价为每件x元，根据题意得x×150%×80%－x=160；
解这个方程得x=800.
答：略.
学生自读课本P135问题6，比较与情景问题的区别、联系.进一步理解示意图的作用.
3.数学运用：
例：某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售将赚20元.问这种商品的定价是多少？（0.75x＋25=0.9x－20，x=300）
学生独立思考，解决问题.
习题练习：见课本P136练一练1，2. P137 14，P138 15.
思维拓展：见课本P136试一试.
4.回顾反思：
应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系（仅作参考）
（1）等积类：变形前的体积（容积）=变形后的体积（容积）；
（2）调配类：注意调配前的数量关系，调配后的数量关系；
（3）利息类：本息和=本金＋税后利息，税后利息=本金×利率×80%；
（4）商品销售类：利润率=利润/进价，利润=售价－进价；
（5）工程类：工作量=工作时间×工作效率；
（6）行程类：路程=速度×时间①相遇问题：总路程=甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：追者走的路程=前者走的路程＋两地间的路程；②环形跑道问题：“同时同地同向出发：快的多跑一圈才能追上慢的；同时同地反向出发：两人第一次相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度.”③航行问题：顺水速度=静水速度＋水速；逆水速度=静水速度－水速；顺水速度－逆水速度=2×风速；
（7）比例类：若甲、乙的比是3:5，可设甲为3x，乙为5x；
（8）数字类：若一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为：100a＋10b＋c.4.3 用方程解决问题（2）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：能利用表格作为建模策略，分析实际问题中的数量关系列方程解决问题.
过程与方法：进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力.
情感、态度与价值观：综合运用已有知识，在探索和解决问题的过程中获得体验，发展自己的思维能力.
2.重、难点：表格设计，用表格分析题中的数量关系.
二、教材处理：
1.情景创设：
广东宏远队的朱芳雨是中国男篮的主力前锋.在一场洲际杯比赛中，他一人独得23分（不含罚球得分）.已知他投进3分球比2分球少4个，他一共投进了几个3分球和几个2分球？
2.学生活动、意义建构、数学理论：
学生分析：题中涉及哪几个量？（投中3分球和2分球的个数关系，得分）；相等关系是什么？（3分球的得分＋2分球的得分=23）
3分球 2分球
个数 x
得分
教师提示，师生建构表格，学生填写.
根据表格和相等关系列出方程：
3x＋2（x＋4）=23.
……
学生在问题情景中初步体验用表格建模策略分析问题各量间的相互关系，列表格是解决问题的一个重要手段.
3.数学运用：
课本P129问题2.
价格（元/kg） 质量/kg 总金额/元
苹果 3.2
橘子 2.6
学生仔细审题（齐读或精读后能复述题意）思考：（1）指出问题中的数、数量、已知数量和未知数量；（2）表格可以怎样设计？（3）设小丽买了xkg苹果，如何用表格分析问题中的数量关系？列出方程是什么？
思维拓展：本题还有没有其它解法？
（如：设小丽买了xkg橘子；设小丽买了x元苹果；设小丽买了x元橘子）
教师小结，让学生体会用方程解决问题时，设未知数的方法不同，方程的复杂程度也常常不同，因此要有所选择.
习题练习：见课本P130练一练2，3或安排其它.
4.回顾反思：
（1）解方程，读懂题意是解决问题的前提，审题不要留于形式，“磨刀不误砍材工”.
（2）所谓解题建模策略，是帮助学生理解题意，找清楚各量间的关系的一种方法，一种策略，一种途径，一个手段，不要过多地加大对解题策略（列表格）的分析、构建，这不应成为解方程的新的难点.学习时，可用列表格法表示问题的数量关系，列出代数式，帮助理清思路，找准等量关系列方程.4.3 用方程解决问题（4）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：能利用示意图和列表格作为建模策略，分析行程问题中的等量关系列方程.
过程与方法：经历和体验运用方程解决实际问题的过程，提高分析问题、解决问题的能力.
情感、态度与价值观：培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的经验，激发学生的学习热情.
2.重、难点：借助示意图和列表格分析问题，建立等量关系.
二、教材处理：
1.情景创设：
敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
2.学生活动、意义建构、数学理论：
题中的相等关系是：我军追击的距离＋1km=敌人逃跑的距离＋25km. 问题情景涉及一个常见的数量关系：路程=速度×时间.
设战斗是在开始追击后x小时发生的，列表分析：
速度（km/h） 时间（h） 路程（km）
我军 5 x
敌军 8
线形示意图略.
列方程得5x＋25=8x＋1.
3.数学运用：
例题见课本P132问题4.
学生利用所学知识自己尝试分析，教师提示：这个问题可以用列表和画示意图的方法来分析，试试看.你借助分析过程能得出问题的相等关系吗？根据相等关系如何列方程，把你的想法与大家交流.
议一议：如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，几分钟后小红再次与爷爷相遇？
学生熟悉用表格和线形示意图分析解决.
思维拓展：问题设计：请结合下面的方程，自编一个情景应用题，并与同伴交流.
2x×3＋3x=400.（模仿课本，如运动场跑道周长400m，哥哥和弟弟从同一起点沿跑道的相反方向出发，3min后他们第一次相遇，如果哥哥跑步的速度是弟弟的2倍，你知道他们跑步的速度吗？
设计问题：甲、乙两地相距460km，A、B两车分别从甲、乙两地开出.A车速度为60km/h，B车速度为80km/h.请同学们展开想象，提出问题，看一看，谁的问题更有新意？
习题：见课本P133练一练1，2.
4.回顾反思：
（1）课时结构构思：呈现问题情景——学生尝试解决问题，引导相关经验和认知的冲突——教师引导，学生合作探究——教师组织学生交流学习过程，达成深层理解——呈现新问题，思维拓展，促进知识的应用与整合.
（2）行程问题中三个量的关系学生印象深刻，分析问题重在理顺三者的内在关系，抓住其中的一条线索路程（或时间或速度）找相等关系，这是解题的关键.
