3.2.1.2函数的最大(小)值-学案（Word版）

第二课时　函数的最大(小)值-学案
课标要求 素养要求
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义. 通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主梳理
函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值.
(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略.
(3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个.
(4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.(×)
提示　M是存在的，并且 x0∈I，使得f(x0)＝M.
(2)一个函数可能有多个最小值.(×)
提示　最大(小)值至多有1个.
(3)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.(√)
(4)如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.(×)
提示　值域确定，但不一定有最值.
(5)因为不等式x2>－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.(×)
提示　f(x)＝x2的最小值为0.
2.函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为________.
答案　3
解析　根据图象可知，f(x)max＝3.
3.函数y＝在[2，3]上的最小值为________.
答案　
解析　∵y＝在[2，3]上递减，∴ymin＝f(3)＝.
4.函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为________.
答案　2
解析　函数y＝－3x2＋2的对称轴为x＝0，又0∈[－1，2]，∴f(x)max＝f(0)＝2.
题型一　利用图象求函数的最值
【例1】　已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值.
解　作出f(x)的图象如图：
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.
思维升华　用图象法求最值的三个步骤
【训练1】　(1)已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为________，________.
(2)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　)
A.2 B.1
C.－1 D.无最大值
答案　(1)1　0　(2)B
解析　(1)作出函数f(x)的图象(如图(1)).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(2)在同一坐标系中，作出函数的图象(如图(2)中实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1，故选B.
　　
图(1)　　　　　　　　　图(2)
题型二　利用单调性求函数的最值
【例2】　已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
(1)证明　设1≤x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵1≤x11，
∴x1x2－1>0，
∴<0，即f(x1)∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
(2)解　由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝.
综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是，最小值是2.
思维升华　1.利用单调性求最值：
首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
【训练2】　已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
解　(1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·，
因为x11，x2>1，所以x1－x2<0，x1x2>1，
所以1－>0，所以(x1－x2)<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝.
(2)因为f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).
题型三　二次函数的最值
角度1　不含参数的二次函数的最值
【例3－1】　函数f(x)＝x2－4x＋7(0≤x≤6)的最大值为________，最小值为________.
答案　19　3
解析　∵f(x)＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，
∴此二次函数的对称轴为x＝2，
∴原函数的最大值为f(6)＝19，最小值为f(2)＝3.
角度2　含参数的二次函数的最值
【例3－2】　已知函数f(x)＝x2－ax＋1，
(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值.
解　(1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，
所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.
(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝.
①当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
③当t<所以f(x)min＝f＝.
思维升华　1.含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.
2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
【训练3】　已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.
(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).
解　f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.
(1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0]上是减函数，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.
又|－2－1|>|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
综上得g(t)＝
题型四　函数最值——实际应用
【例4】　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解　(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000；
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000，
当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时 ，f(x)max＝25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元.
思维升华　对于实际应用问题，首先要审清题意，确定自变量和因变量的条件关系，建立数学模型，列出函数关系式，进而分析函数的性质，从而解决问题.同时要注意自变量的取值范围.
【训练4】　近年来，“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每座城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入资金为x(单位：万元)，两城市的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；
(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？
解　(1)当x＝128时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元，所以总收益f(128)＝4－6＋×112＋2＝88(万元).
(2)设甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得解得80≤x≤160.
当80≤x<120时，120<240－x≤160，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160时，80≤240－x≤120，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2
＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88，
当t＝8，即x＝128时，y的最大值为88.
因为88>26＋16，所以当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，公司总收益最大，且最大收益为88万元.
求函数最值的常用方法与技巧
(1)图象法求函数最值.
①画出函数y＝f(x)的图象；
②观察图象，找出图象的最高点和最低点；
③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
(2)运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.
(3)①注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.