3.4　函数的应用(一)-学案（Word版）

3.4　函数的应用(一)-学案
课标要求 素养要求
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要性. 2.会利用已知函数模型解决实际问题. 通过本节课的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养.
自主梳理
1.常见的函数模型
常见函数模型 一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
幂函数模型 y＝axα＋b(a，b为常数，a≠0，α≠1)
2.解决函数应用问题的步骤
(1)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.
(2)这些步骤用框图表示如图：
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(√)
(2)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.判断下列说法的正误：
①前5分钟温度增加越来越快.(×)
②前5分钟温度增加越来越慢.(√)
③5分钟后温度保持匀速增加.(×)
④5分钟后温度保持不变.(√)
2.网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”
中国鞋码实际标准(mm) 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265
中国鞋码习惯叫法(号) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为多少毫米(　　)
A.150 B.200
C.180 D.210
答案　B
解析　设脚的长度为y mm，对应的鞋码为x码.则y＝5x＋50，当x＝30时，y＝5×30＋50＝200.故选B.
3.一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为________.
答案　y＝20－x(0解析　由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，易知04.某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.
答案　2 500
解析　L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.
题型一　 一次函数模型
【例1】　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
解　(1)由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0).
(2)令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90.
当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当0≤x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1思维升华　在用函数刻画实际问题时，除了用函数解析式刻画外，函数图象也能够发挥很好的作用，因此，应注意提高读图的能力.
【训练1】　某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示.
(1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式；
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？
解　(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
由图象可知，当x＝60时，y＝6；当x＝80时，y＝10.
所以解得k＝，b＝－6.
所以y与x之间的函数关系式为y＝
(2)根据题意，当y＝0时，0≤x≤30.
所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.
题型二　幂函数与二次函数模型
【例2】　(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元.
答案　125
解析　由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
(2)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：
①商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
②通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
解　①设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，
∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).
∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300])，
∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.
②由题意得k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，
x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.
思维升华　1.幂函数应用的常见题型
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式.
(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.
2.利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
【训练2】　据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解　(1)设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5，解得a＝.
所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25).
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－
＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25).
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
题型三　分段函数模型
【例3】　经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝(元).
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
解　(1)由已知，由价格乘以销售量可得：
y＝
(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝
－(t－5)2＋1 225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]单调递增，在t∈(5，10]单调递减，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)；
②当10函数图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]单调递减，
∴ymax＝1 200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).
所以该种商品日销售额的最大值为1 225元，最小值为600元.
思维升华　应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
【训练3】　某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：
t/天 5 10 20 30
Q/件 35 30 20 10
(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).
解　(1)由已知可得：P＝.
(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为
Q＝－t＋40(0(3)由题意y＝
当0当25≤t≤30，t＝25时，ymax＝(25－70)2－900＝1 125.
∴当第25天时，该商品日销售金额的最大值为1 125元.
1.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围；二是要检验所得结果，以使结果符合实际问题的要求.
2.建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.