4.1.2分数指数幂、无理数指数幂-学案（Word版）

第二课时　分数指数幂、无理数指数幂-学案
课标要求 素养要求
通过对有理数指数幂a(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 通过对有理数指数幂a、实数指数幂ax含义的认识，提升数学抽象素养，通过指数幂运算性质的应用，提升数学运算素养.
自主梳理
1.分数指数幂
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
2.有理数指数幂的运算性质
(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
(2)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q).
3.无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)(－2)＝(－2).(×)
提示　(－2)>0，而(－2)无意义，故错误.
(2)[(－2)×(－3)]＝(－2)(－3).(×)
提示　左侧＝，右侧无意义.
(3)当a>0时，(ar)s＝(as)r.(√)
(4)2∈R.(√)
2.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A.－＝(－x) B.＝y(y<0)
C.x－＝(x≠0) D.[]＝x(x>0)
答案　CD
解析　对于选项A，因为－＝－x(x≥0)，而(－x)＝(x≤0)，所以A错误；对于选项B，＝－y(y<0)，即B错误；对于选项C，x－＝(x≠0)，即C正确；对于选项D，[]＝x2××＝x(x>0)，即D正确，故选CD.
3.下列运算结果中，正确的是(　　)
A.a2·a3＝a5 B.(－a2)3＝(－a3)2
C.(－1)0＝1 D.(－a2)3＝a6
答案　A
4.(a>0)的值为________.
答案　a
解析　原式＝a3·a－·a－＝a3－－＝a.
题型一　根式与指数幂的互化
角度1　分数指数幂化根式
【例1－1】　用根式的形式表示下列各式(x>0).
(1)x；(2)x－.
解　(1)x＝；(2)x－＝.
角度2　根式化分数指数幂
【例1－2】　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.
(1)；(2)；(3)；(4).
解　(1)＝a.
(2)＝＝a－.
(3)＝＝ba－＝a－b.
(4)＝＝a＝a3.
思维升华　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数化为分数指数的分母，
被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
【训练1】　用分数指数幂表示下列各式：
(1)(a>0，b>0)；
(2)(a>0，b>0).
解　(1)＝＝1.
(2)＝＝＝＝a－b.
题型二　利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例2】　(1)＝________.
答案　
解析　＝＝＝＝.
(2)计算下列各式(式中字母均为正数)：
①··；
②(0.064)－－＋＋16－0.75.
解　①原式＝x－＋(－1)＋·y＋－＝x－y.
②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
思维升华　1.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.
2.根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式.
(2)运用分数指数幂的运算性质求解.
3.对于化简结果的要求
对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.
【训练2】　计算下列各式：
(1)＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)＋0.1－2＋－3π0＋；
(3)－＋＋－π0.
解　(1)原式＝1＋×－＝.
(2)原式＝＋100＋－3＋＝100＋－3＝100.
(3)原式＝－＋＋－1＝－＋＋－1＝3.
题型三　整体代换法求分数指数幂
【例3】　(1)若x＝2，则(x＋3)＝________.
(2)若x－x－＝1，则x＋x－1＝________；
x2＋x－2＝________.
答案　(1)±1　(2)3　7
解析　(1)因为x＝2，则＝23＝8，得x2＝23，解得x＝±2，
所以(x＋3)＝(3±2)＝[(±1)2]＝±1.
(2)将x－x－＝1，两边平方得x＋x－1－2＝1，
则x＋x－1＝3.
x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，
所以x2＋x－2＝7.
思维升华　利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，x＋x－1＝(x±x－)2 2，x＋x－＝(x±x－)2 2.
【训练3】　(1)已知x＋x－＝，则x2＋x－2＝________.
(2)已知x＋x－1＝7，则x＋x－＝________；x2－x－2________.
答案　(1)7　(2)3　±21
解析　(1)将x＋x－＝，两边平方得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3，两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
(2)①设m＝x＋x－，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，因为m>0，所以m＝3，即x＋x－＝3.
②设n＝x－x－，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，因为n∈R，所以n＝±，即x－x－＝±.所以x－x－1＝(x＋x－)(x－x－)＝±3，
x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.
1.根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.
2.对于条件求值问题，一般是化简代数式，利用整体代入的方法求值.