4.2.2.2指数函数的图象和性质(二)-学案（Word版）

第二课时　指数函数的图象和性质(二)-学案
课标要求 素养要求
1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质. 2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性. 3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式. 1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，发展学生的逻辑推理素养. 2.借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，发展学生的数学运算及数学抽象素养.
自主梳理
1.底数与指数函数图象的关系
(1)由指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.
(2)由指数函数y＝ax的图象与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.
如图所示，指数函数底数的大小关系为02.解指数型不等式
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.
3.与指数函数复合的函数单调性
一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)y＝21－x是R上的增函数.(×)
提示　函数y＝21－x＝是R上的减函数.
(2)若0.1a>0.1b，则a>b.(×)
提示　因为0<0.1<1，∴y＝0.1x为减函数，
∴由0.1a>0.1b得a(3)由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数.(×)
提示　函数y＝ax＋a－x是偶函数.
2.函数y＝的单调递增区间为(　　)
A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0，1)
答案　A
解析　定义域为R.
设u＝1－x，y＝.
∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数，
y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝在(－∞，＋∞)上是增函数，∴选A.
3.若2x＋1<1，则x的取值范围是________.
答案　(－∞，－1)
解析　∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
4.比较大小：π－________.
答案　<
解析　因为＝π，所以利用指数函数的单调性有π－<π.
题型一　比较两数的大小
【例1】　(1)下列大小关系正确的是(　　)
A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aC.b答案　(1)B　(2)C
解析　(1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4，故选B.
(2)∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.
思维升华　比较幂值大小的三种类型及处理方法
【训练1】　比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)与1；
(3)(0.8)－2与.
解　(1)考查函数y＝.
∵0<<1，∴函数y＝在(－∞，＋∞)上是减函数.
又－0.24>－，∴<.
(2)考查函数y＝.
∵0<<1，
∴函数y＝在(－∞，＋∞)上是减函数，
又－π<0，∴>＝1.
(3)(0.8)－2＝＝.
∵函数y＝在(－∞，＋∞) 上是增函数，
∴<，即<(0.8)－2.
题型二　解简单的指数不等式
【例2】　(1)不等式≤2的解集为________.
(2)已知a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围.
答案　{x|x≥0}
(1)解析　∵2＝，∴原不等式可化为≤，∵函数y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)解　当a>1时，∵a－5x>ax＋7，
∴－5x>x＋7，解得x<－；
当0ax＋7，
∴－5x－.
综上所述，当a>1时，x<－；当0－.
思维升华　解指数不等式的类型及应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解.
【训练2】　(1)不等式2x2＋2x－4≤的解集为(　　)
A.[－1，3] B.[－3，－1]
C.[－3，1] D.[1，3]
(2)若存在正实数x使2x(x－a)<1，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)∵2x2＋2x－4≤，
∴2x2＋2x－4≤2－1，
∴x2＋2x－4≤－1，
∴x2＋2x－3≤0，
解得－3≤x≤1，∴不等式的解集为[－3，1]，故选C.
(2)由2x(x－a)<1，得a>x－(x>0)，
令f(x)＝x－，即a>f(x)有解，则a>f(x)min.
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)>f(0)＝－1，∴a>－1.故选D.
题型三　指数型函数的单调性
【例3】　求出下列函数的单调区间：
(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2；
(3)y＝.
解　(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－＋，
易知u在上是增函数，在上是减函数.
当a>1时，y＝au在R上单调递增，
∴y＝a－x2＋3x＋2在上是增函数，在上是减函数.
(2)∵－x2＋2x＋3≥0，∴x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3，
∴函数的定义域为[－1，3].
设u＝＝，易知u在[－1，1)上单调递增，在[1，3]上单调递减，且y＝2u在R上单调递增，
∴函数y＝2在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减.
(3)令t＝2x，则y＝.
由12＋t－t2≥0，得－3≤t≤4，
即－3≤2x≤4＝22，即x≤2.
又t＝2x在R上单调递增，
而y＝＝在上单调递增，在上单调递减，
∴y＝在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，2]上单调递减.
思维升华　由于指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系.其解决方法一般是利用函数单调性的定义.
特别地，(1)对于形如f(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y＝ax及函数g(x)的单调性来处理.
(2)对于形如y＝f(ax)的复合函数，可令ax＝t，由内层函数t＝ax及外层函数y＝f(t)的单调性来处理.
【训练3】　求f(x)＝的单调区间，并求其值域.
解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0<≤＝3，
∴原函数的值域为(0，3].
题型四　指数函数性质的综合应用
【例4】　已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
解　(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－＋，
故f(x)在R上为减函数.
(3)∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，
∴k的取值范围是.
思维升华　解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
【训练4】　已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)>0.
(1)解　由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)解　由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.
令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，
则f(x)＝g(x)·φ(x).
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，
φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，
∴f(x)＝·x3为偶函数.
(3)证明　当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴＋>0.
∵x3>0，∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立.故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
1.比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2.解简单指数不等式问题的关键是利用指数函数的单调性转化为一般不等式，有时需要对底数进行讨论，有时需借助图象求解.