4.3.1　对数的概念-学案（Word版）

4.3　对　数
4.3.1　对数的概念-学案
课标要求 素养要求
1.理解对数的概念. 2.知道自然对数和常用对数. 3.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用. 1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化. 2.理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养.
自主梳理
1.对数的概念
(1)对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)常用对数与自然对数
通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N，另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln__N.
2.对数与指数的关系
根据对数的定义，可以得到对数与指数之间的关系：
当a>0，且a≠1时，ax＝N x＝logaN.
3.对数的有关性质
(1)零和负数没有对数；
(2)1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；
(3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1).
指数式ab＝N和对数式logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)是同一种数量关系的两种不同表达形式.
表达形式 a B N 对应的运算
ab＝N 底数 指数 幂 乘方，由a，b求N
logaN＝b 底数 对数 真数 对数，由N，a求b
　　　自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(×)
提示　因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误.
(2)对数式log32与log23的意义一样.(×)
提示　log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以错误.
(3)对数的运算实质是求幂指数.(√)
2.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；
(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　B
解析　(1)正确；(2)，(3)，(4)不正确.
3.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)
A.a>且a≠1 B.0C.a>0且a≠1 D.a<
答案　B
解析　由题意知解得04.若logx8＝3，则x＝________.
答案　2
解析　由指数式与对数式的互化知x3＝8，所以x＝2.
题型一　对数的定义及其应用
【例1】　(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________.
答案　(2，3)∪(3，4)
解析　由题意可知解得2(2)将下列指数式、对数式互化.
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log125＝6.
解　①由54＝625，得log5625＝4.
②由log216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.
④由log125＝6，得()6＝125.
思维升华　指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【训练1】　将下列指数式、对数式互化：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 1 000＝3.
解　(1)因为43＝64，所以log464＝3；
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；
(3)因为＝n，所以logn＝m；
(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.
题型二　对数相关性质及恒等式的应用
角度1　对数相关性质的应用
【例2－1】　求下列各式中的x的值.
(1)log2(log3x)＝0；
(2)log5(log2x)＝1；
(3)log(＋1)＝x.
解　(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.
(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.
(3)＝＝＋1，所以log(＋1)＝log(＋1)(＋1)＝1.
∴x＝1.
角度2　对数恒等式的应用
【例2－2】　(1)若x＝71－log75，则x＝________；
(2)25log54＝________.
答案　(1)　(2)4
解析　(1)x＝71－log75＝7÷7log75＝；
(2)25log54＝5log54＝4.
思维升华　(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
(2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：alogaN＝N，logaaN＝N.
【训练2】　求下列各式中的x的值.
(1)log8[log7(log2x)]＝0；
(2)log2[log3(log2x)]＝1；
(3)3log3(2x＋1)＝27.
解　(1)由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，
即log2x＝7，∴x＝27.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1，
∴log3(log2x)＝2，
∴log2x＝9，∴x＝29.
(3)由3log3(2x＋1)＝27，得2x＋1＝27，则x＝13.
题型三　对数式与指数式的互化及其应用
角度1　指数式化为对数式
【例3－1】　将下列指数式写成对数式.
(1)103＝1 000；(2)2－6＝；
(3)3a＝27；(4)＝5.73.
解　(1)lg 1 000＝3；(2)log2＝－6；
(3)log327＝a；(4)log5.73＝m.
角度2　对数式化为指数式
【例3－2】　求下列各式中x的值.
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；
(4)－ln e2＝x；(5)log(－1)＝x.
解　(1)x＝64－＝(43)－＝4－2＝.
(2)因为x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，
即e－x＝e2.所以x＝－2.
(5)因为log(－1)＝x，
所以(－1)x＝＝
＝＝－1，所以x＝1.
思维升华　对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的运算性质计算.
【训练3】　利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值.
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；
(3)log5x2＝2；(4)2log3x＝4.
解　(1)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.
∵x>0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.
∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，
∴x＝5或x＝－5.
(4)由2log3x＝4＝22，得log3x＝2，所以x＝32，即x＝9.
1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；
(2)alogaN＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.