4.4.1　对数函数的概念-学案（Word版）

4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念-学案
课标要求 素养要求
1.理解对数函数的概念. 2.会求与对数函数有关的定义域问题. 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 1.通过对数函数的概念的学习，提升数学抽象素养. 2.借助于对数函数在生产实际中的应用，发展数学建模素养.
自主梳理
对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1.
(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.(√)
(2)y＝log2x2是对数函数.(×)
提示　函数y＝log2x2不满足对数函数的形式，故不是对数函数.
(3)若y＝logax是对数函数，则a>0且a≠1.(√)
(4)函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞).(×)
提示　函数y＝loga(x－1)的定义域为(1，＋∞).
2.下列函数是对数函数的是(　　)
A.y＝loga(2x) B.y＝lg 5
C.y＝log2(x2＋x) D.y＝logx
答案　D
解析　只有y＝logx满足对数函数的定义，故选D.
3.若对数函数f(x)过点(9，2)，则f＝________.
答案　－1
解析　设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，loga9＝2，∴a2＝9，∴a＝3(舍a＝－3)，
∴f(x)＝log3x，∴f＝log3＝－1.
4.函数y＝ln(3－x)＋的定义域为________.
答案　[1，3)
解析　由解得1≤x＜3.
题型一　对数函数的概念及应用
【例1】　(1)已知下列函数：
①y＝log(－x)(x<0)；②y＝2log4(x－1)(x>1)；
③y＝ln x(x>0)；④y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数).
其中是对数函数的是________(只填序号).
(2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f＝________.
答案　(1)③　(2)－5
解析　(1)对于①，真数是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且真数是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，真数是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数.
(2)设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，∵f(x)的图象过点P(8，3)，∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.∴f(x)＝log2x，f ＝log2＝log22－5＝－5.
思维升华　判断一个函数是对数函数的方法
【训练1】　已知函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则f＝________.
A.3 B.－3
C.－log36 D.－log38
答案　B
解析　由题意得解得a＝2，所以f(x)＝log2x，
故f＝log2＝－3.
题型二　与对数函数有关的定义域问题
【例2】　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)y＝log(x＋2).
解　(1)要使函数f(x)有意义，则有
即即－1∴函数f(x)＝＋的定义域为(－1，0)∪(0，2].
(2)要使函数f(x)有意义，则log0.5(2－4x)>0，
∴0<2－4x<1，∴1<4x<2，即20<22x<21，
∴0<2x<1，即0∴函数f(x)的定义域为.
(3)要使函数有意义，则∴
故所求函数的定义域是(－2，－1)∪∪(2，＋∞).
思维升华　求与对数函数有关的定义域应遵循的原则
(1)分母不能为0；(2)根指数为偶数时，被开方数非负；
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【训练2】　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x).
解　(1)要使函数有意义，需满足
解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).
题型三　对数模型的应用
【例3】　某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解　(1)由题意知y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.
∴老江的销售利润是34万元.
思维升华　对数函数应用题的解题思路.
(1)依题意，找出或建立数学模型
(2)依实际情况确定解析式中的参数.
(3)依题设数据解决数学问题.
(4)得出结论.
【训练3】　某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　)
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
答案　A
解析　由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，
则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
1.判断一个函数是不是对数函数、关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0，且a≠1)这种形式.
2.涉及对数函数的定义域问题，从对数式的真数和底数两个方面构建不等式组，且最终结果要写成集合的形式.