4.4.2第一课时　对数函数的图象和性质(一)-学案（Word版）

4.4.2　对数函数的图象和性质
第一课时　对数函数的图象和性质(一)-学案
课标要求 素养要求
1.掌握对数函数的图象及简单应用. 2.会利用对数函数的单调性比较大小. 1.借助于对数函数的图象的识别与应用，发展直观想象素养. 2.通过对数函数性质的应用，提升数学运算素养.
自主梳理
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
性 质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值 的变化 当01时，y>0 当00， 当x>1时，y<0
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图.
　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)函数y＝ax与y＝logax的单调区间相同.(×)
提示　函数y＝ax的单调区间是(－∞，＋∞)，函数y＝logax的单调区间是(0，
＋∞)，故(1)错.
(2)函数y＝loga(x＋1)的图象过定点(2，0).(×)
提示　函数y＝loga(x＋1)的图象过定点(0，0)，故(2)错.
(3)若loga2>loga3，则02.对数函数y＝logax与y＝logbx的图象如图，则(　　)
A.a<0，b<0 B.a<0，b>0
C.01 D.0答案　C
解析　由图可知y＝logbx单调递增，故b>1，y＝logax单调递减，故03.若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是________.
答案　(1，3)
解析　令2－x＝1，得x＝1，f(1)＝3，
故P的坐标是(1，3).
4.比较大小：2x2＋1________22x.
答案　≥
解析　∵x2＋1≥2x，且y＝2x是增函数，∴2x2＋1≥22x.
题型一　对数函数图象的识别
【例1】　(1)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)
(2)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝b＋logax的图象大致是(　　)
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)f(x)的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位得到的，过定点(1，1)，g(x)＝2－x＋1＝的图象是由y＝的图象向右平移一个单位得到的过定点(0，2)，故只有选项C符合.
(2)由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0思维升华　有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过定点、图象的平移与翻折变换等求解.
【训练1】　(1)当a>1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图象只能是(　　)
(2)函数y＝log2(1－x)的图象是(　　)
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)因为a>1，所以y＝logax为增函数，且函数图象过定点(1，0)，故排除选项C，D.又因为1－a<0，所以直线y＝(1－a)x应过原点，且经过第二象限和第四象限.故选B.
(2)易知函数y＝log2(1－x)是减函数，故排除A，D，又函数的定义域为(－∞，1)，故可排除B，选C.
题型二　对数函数图象的应用
【例2】　(1)如图是对数函数y＝logax的图象，已知a的值取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是(　　)
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
(2)当0A. B.
C.(1，4) D.(，4)
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)法一　C1，C2的底数都大于1，当x>1时底数大的图低(第一象限内)，所以C1，C2对应的a值分别为，，C3，C4的底数都大于0小于1，当x>1时底数大的图低(第一象限内)，所以C3，C4对应的a值分别为，，综合以上分析，可得C1，C2，C3，C4对应的a值依次为，，，，故选B.
法二　如图，作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，.故选B.
(2)当0思维升华　在解决求参数的值或取值范围的问题时，利用函数的图象可事半功倍，
作对数函数的图象时，注意底数的变化对其位置的影响.
【训练2】　设a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a答案　(0，1)
解析　由题意知，在x∈(0，10)上，y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，作出函数y＝|lg x|的图象与直线y＝c，如图所示，
结合图象可知，|lg a|＝|lg b|＝c，又a∴－lg a＝lg b＝c，∴ab＝1，0∴abc的取值范围是(0，1).
题型三　比较对数值的大小
【例3】　(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　)
A.bC.c(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)
A.loga5.1log2.2
C.log1.1(a＋1)答案　(1)D　(2)B
解析　(1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b(2)对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.
思维升华　比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
【训练3】　比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)；(4)log30.2，log40.2.
解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32所以log23>log0.32.
(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；
当0则有logaπ综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；
当0(4)在同一直角坐标系中，作出y＝log3x，y＝log4x的图象，再作出直线x＝0.2，观察图象可得log30.21.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
2.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0