4.4.3　不同函数增长的差异-学案（Word版）

4.4.3　不同函数增长的差异-学案
课标要求 素养要求
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具. 2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 3.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义. 通过本节内容的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模等素养.
自主梳理
三种常见函数模型的增长差异
函数 性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(√)
(2)函数y＝log2x增长的速度越来越慢.(√)
(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(×)
提示　根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.
2.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
答案　D
解析　对数函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意.
3.函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的是________.
答案　y＝x2
解析　作出y＝x2与y＝ln x的图象，通过比较图象可得.
4.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是________(填序号).
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.
答案　④
解析　由图知，甲、乙两人s与t的关系均为直线上升，路程s的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快.又甲、乙的路程s取值范围相同，即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点.
题型一　几类函数模型的增长差异
【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A.y＝2 020x B.y＝x2 020
C.y＝log2 020x D.y＝2 020x
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
答案　(1)A　(2)y2
解析　(1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
思维升华　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.
(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定.
【训练1】　下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　)
A.y＝ex B.y＝100 ln x
C.y＝x100 D.y＝100·2x
答案　A
解析　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A.
题型二　指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较
【例2】　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小.
解　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 019)>g(2 019).又因为g(2 019)>g(6)，所以f(2 019)>
g(2 019)>g(6)>f(6).
【迁移1】　(变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)问呢？
解　由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.
【迁移2】　(变换所求)本例条件不变，例2(2)问中所求改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 020)，g(2 020)的大小.
解　因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 020)>g(2 020)，又因为g(2 020)>g(8)，所以f(2 020)>
g(2 020)>g(8)>f(8).
思维升华　由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.
【训练2】　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示.
(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
解　(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).
题型三　函数模型的选择问题
【例3】　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
解　根据题意可列方程组
解得所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，
g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.
思维升华　建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
【训练3】　某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元.作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
解　A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为100≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100≈103.09(元)，收益为3.09元.通过以上分析，应购买B种债券.
几种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)当要求增长速度比较均匀，常常选用一次函数模型.
(4)幂函数模型y＝xn(n>0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快.