4.5.1　函数的零点与方程的解-学案（Word版）

4.5.1　函数的零点与方程的解-学案
课标要求 素养要求
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系. 2.了解零点存在性定理、会判断函数零点的个数. 通过本节内容的学习，使学生体会转化思想在研究函数中的作用，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象素养.
自主梳理
1.函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
(1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
理解函数零点存在定理需注意的问题
1.①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立.
2.满足上述两个条件，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c，但不能确定有几个，只有再借助于f(x)在(a，b)内的单调性才能确定f(x)在(a，b)内零点的个数.
3.该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f(a)f(b)<0成立.如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)设f(x)＝，由于f(－1)f(1)<0，所以f(x)＝在(－1，1)内有零点.(×)
提示　由于f(x)＝的图象在[－1，1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论.
(2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(×)
提示　反例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)·f(3)>0.
(3)若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点.(×)
提示　反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f(x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点.
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)
答案　D
3.函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)
A.(1，＋∞) B.
C. D.
答案　B
解析　f(1)＝2－1＝1>0，f＝2－2＝－2<0，即ff(1)<0，且f(x)的图象在内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是.
4.若2是函数f(x)＝a·2x－log2x的零点，则a＝________.
答案　
解析　由f(2)＝4a－1＝0得a＝.
题型一　求函数的零点
【例1】　(1)函数y＝1＋的零点是(　　)
A.(－1，0) B.－1
C.1 D.0
(2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________.
(3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝_____________________________.
答案　(1)B　(2)－2　(3)3
解析　(1)令1＋＝0，解得x＝－1，故选B.
(2)令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.
(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.
思维升华　探究函数零点的两种方法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【训练1】　(1)函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.
(2)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________.
答案　(1)0，－　(2)1和10
解析　(1)∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，
∴2a＋b＝0 b＝－2a，
∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).
由－ax(2x＋1)＝0得x＝0，x＝－，
∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－.
(2)由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.
题型二　判断函数零点所在的区间
【例2】　(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　)
A.(－3，－1)和(2，4) B.(－3，－1)和(－1，1)
C.(－1，1)和(1，2) D.(－∞，－3)和(4，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，4) D.(4，＋∞)
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.故选A.
(2)∵f(x)＝－log2x，∴f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－2＝－<0，由零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4).
思维升华　确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【训练2】　(1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
(2)若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于(　　)
A.－2 B.1
C.－2或1 D.0
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，又f(x)的图象在(0，1)内是一条连续不断的曲线，∴f(x)在(0，1)内有零点.
(2)由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1，2)上，所以k＝－2或k＝1.故选C.
题型三　函数零点个数问题
角度1　判断函数零点个数
【例3－1】　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.
解　法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数.
故函数f(x)有且只有一个零点.
法二　在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图.
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
思维升华　判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
角度2　根据零点个数求参数范围
【例3－2】　已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1) B.(－∞，0)
C.(－1，0) D.[－1，0)
答案　D
解析　当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
思维升华　已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：
(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.
【训练3】　(1)f(x)＝的零点个数为(　　)
A.3 B.2
C.1 D.0
(2)若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
答案　(1)B　(2)(0，1]
解析　(1)当x≤0时，
由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2.
∴函数的零点个数为2.
(2)当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，
则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，
令f(x)＝0得a＝2x，
因为0<2x≤20＝1，所以0所以实数a的取值范围是(0，1].