4.5.2　用二分法求方程的近似解-学案（Word版）

4.5.2　用二分法求方程的近似解-学案
课标要求 素养要求
1.探索用二分法求方程近似解的思路. 2.能借助计算工具用二分法求方程近似解. 通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
自主梳理
1.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).
(1)二分法的依据是零点存在定理，仅适用于函数的变号零点(函数图象通过零点时函数值的符号变号，如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法).
(2)二分法采用逐步逼近的思想，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点.要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，当区间长度小到一定程度时，就得到近似值.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.(×)
提示　如函数f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解.
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点.(×)
提示　对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点.
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.(×)
提示　函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.
2.二分法求函数的零点的近似值适合于(　　)
A.零点两侧函数值异号的函数
B.零点两侧函数值同号的函数
C.所有函数都适合
D.所有函数都不适合
答案　A
解析　由函数零点存在定理可知选A.
3.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A.0.9 B.0.7
C.0.5 D.0.4
答案　B
解析　由题意可知函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|<0.1，故选B.
4.下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是(　　)
①y＝3x2－2x＋5；②y＝；③y＝＋1，x∈(－∞，0)；④y＝x2＋4x＋8.
A.①③ B.②
C.④ D.②④
答案　C
解析　由y＝x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值.
题型一　二分法概念的理解
【例1】　(1)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.
答案　(1)B　(2)(1，2)
解析　(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点.
(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2).
思维升华　运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
【训练1】　已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为(　　)
A.4，4 　　　　B.3，4
C.5，4 　　　　D.4，3
答案　D
解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的零点个数为3.
题型二　用二分法求函数的零点
【例2】　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01).
解　经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b) (a，b)的中点 中点函数值符号
(1，1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25，1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25，1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0
(1.312 5，1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0
(1.312 5，1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)>0
(1.312 5，1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)<0
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.
思维升华　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【训练2】　证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1).
证明　设函数f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，
∴x0∈(1，1.5).
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1，1.25).
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25).
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25).
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则函数的一个零点可取x0＝1.25.
题型三　用二分法求方程的近似解
【例3】　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1).
解　令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，
f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解.
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625，0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.75.
思维升华　用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间的长度是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算.
【训练3】　用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
解　令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，
f(2)＝22＋2－4>0.
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1，2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33>0
(1，1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37<0
(1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035<0
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.