4.5.3　函数模型的应用-学案（Word版）

4.5.3　函数模型的应用-学案
课标要求 素养要求
1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题. 通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.
自主梳理
常见的函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型 y＝
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.(×)
提示　两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.
(2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.(×)
提示　函数模型中定义域必须满足实际意义.
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.(×)
提示　拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可.
2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间 1 2 3 4
利润
(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)
A.y＝log2x B.y＝2x
C.y＝x2 D.y＝2x
答案　B
解析　逐个检验可得答案为B.
3.国内邮寄1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离 x(km) 0邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 8.00 …
如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　)
A.5.00元 B.6.00元
C.7.00元 D.8.00元
答案　C
4.2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，
lg 7≈0.845 1).
答案　2 043
解析　设x年我国人口将超过20亿，
由已知条件：14(1＋1.25%)x－2 014>20，
x－2 014>＝≈28.7，
则x>2 042.7，即x＝2 043.
题型一　一次函数、二次函数、分段函数模型
【例1】　某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85 元/km).
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8 km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由.
解　(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为
f(x)＝
＝
(2)只乘一辆车的车费为
f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，
换乘2辆车的车费为
2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元).
因此40.3>38.8，
所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.
思维升华　1.利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
2.应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
【训练1】　某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：
H(x)＝
其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
解　(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，
∴f(x)＝
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，
所以当x＝150时，有最大值12 500；
当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，
f(x)<30 000－100×200<12 500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
题型二　指数函数、对数函数模型
【例2】　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
解　(1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s).
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍.
思维升华　指数型、对数型函数问题的类型及解法
(1)指数函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.
(2)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.
(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论.
【训练2】　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解　(1)由题意得a(1－p%)10＝，
即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年.
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年.
题型三　建立拟合函数模型解决实际问题
【例3】　为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.
年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷)
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
解　(1)描点、作图，如图(甲)所示：
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0).取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.4，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.4＋1.8x，则当x＝25时，y＝2.4＋1.8×25＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约为47.4公顷.
思维升华　建立拟合函数与预测的基本步骤
【训练3】　某企业常年生产一种出口产品，近年来，该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.
找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2017年和2019年的数据求出相应的解析式.
解　最适合的函数模型是f(x)＝ax＋b，理由如下.
若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，
得a＝2，即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合.
若模型为f(x)＝logx＋a，
则f(x)是减函数，与已知不符合.
由已知得解得
所以f(x)＝x＋，x∈N*.
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
2.在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.