5. 1.1　任意角-学案（Word版）

5. 1.1　任意角-学案
课标要求 素养要求
1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义. 2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示. 在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.
自主梳理
1.角的分类
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
(1)正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的射线绕端点按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转还是没有旋转得到的.
(2)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°.　　　
2.角的加法
(1)若角α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
(2)设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.
(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β).
3.象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
4.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
(1)象限角与轴线角的集合表示形式不唯一，如第四象限角也可以表示为{α|k·360°－90°<α(2)利用终边相同的角的一般形式可以求出符合某些条件的终边相同的角，注意“k∈Z”这一条件.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)经过1小时，时针转过30°.(×)
提示　因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°.
(2)终边与始边重合的角是零角.(×)
提示　终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
(3)第一象限角都是锐角.(×)
提示　390°为第一象限角，但不是锐角.
(4)钝角是第二象限角.(√)
2.(多选题)下列结论正确的是(　　)
A.经过两个小时，时钟的时针转过的角是－60°
B.第一象限角一定是正角
C.锐角小于90°
D.终边相同的角相等
答案　AC
解析　时钟的时针按顺时针方向旋转60°，故转过的角是－60°，故A正确；
－335°是第一象限角，但不是正角，故B错误；锐角是大于0°且小于90°的角，故C正确；30°与390°的终边相同，但二者不相等，故D错误.
3.与－457°角的终边相同的角的集合是(　　)
A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
答案　C
解析　由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.
4.－378°是第________象限角.
答案　四
解析　－378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角.
题型一　与任意角有关的概念辨析
【例1】　(1)下列说法中，正确的是________(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限角；
③第二象限角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
答案　　(1)②⑤　(2)－40°
解析　(1)终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.
(2)两次旋转后形成的角为60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.
思维升华　判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【训练1】　写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数.
解　题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
题型二　终边相同的角
角度1　求与已知角终边相同的角
【例2－1】　在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)[360°，720°)内的角.
解　与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°(2)由0°(3)由360°≤k·360°＋10 030°<720°(k∈Z)，得－9 670°≤k·360°<－9 310°(k∈Z)，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
角度2　求终边在给定直线上的角的集合
【例2－2】　写出终边在直线y＝－x上的角的集合.
解　终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}；
终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}.
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.
故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.
思维升华　(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.
(2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.
【训练2】　写出终边落在x轴上的角的集合S.
解　S＝{α|α＝k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°，k2∈Z}＝{α|α＝2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
题型三　象限角和区间(域)角
角度1　判断给定角所在象限及区域角的表示
【例3－1】　(1)－2 020°是第________象限角.
答案　二
解析　－2 020°＝－6×360°＋140°，140°是第二象限角，所以－2 020°为第二象限角.
(2)已知，如图所示.
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
【迁移1】　若将例3－1(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解　在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
【迁移2】　若将例3－1(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解　由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
角度2　判定nα或所在象限
【例3－2】　若α是第二象限角，试分别确定2α，，的终边所在位置.
解　∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z).
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，
∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上.
法一　∵45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，∴的终边位于第一或第三象限.
∵30°＋k·120°<<60°＋k·120°(k∈Z)，
当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一、第二或第四象限.
法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示：
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一或第三象限.
将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示：
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一、第二或第四象限.
思维升华　1.表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
2.已知α所在象限，确定nα或所在象限
(1)用不等式表示α的范围，再确定nα或的范围，再判断角所在象限；(2)数形结合法，等分象限，确定角所在象限.
【训练3】　(1)已知α是第二象限角，则180°－α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)已知α是锐角，那么2α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)，k∈Z，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°，k∈Z，所以180°－α为第一象限角.
(2)∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.
1.两个重要概念
(1)任意角的概念，高中用“运动”的观点定义了任意角，旋转方向决定角的正负，旋转量决定角的大小.
(2)终边相同的角：所有与角α(含α在内)终边相同的角可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.两种思想方法：
(1)数形结合：解决象限角问题时，注意利用图形.
(2)分类讨论：已知α所在的象限，判断或nα(n∈Z)所在的象限时注意应用分类讨论的思想方法.