5.2.1第二课时三角函数值的符号及公式一-学案

第二课时　三角函数值的符号及公式一-学案
课标要求 素养要求
1.能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 2.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等. 通过三角函数值在各象限内的符号和公式一的应用，重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养.
自主梳理
1.三角函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
根据三角函数的定义可知：
(1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；
(2)余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；
(3)正切函数值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负.　　　
2.公式一
(1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等.
(2)式子表示：
(1)公式一的实质是角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次.
(2)公式一的作用是把任意角的三角函数值转化为求0～2π角的三角函数值.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(√)
(2)若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角.(×)
提示　sin α·cos α>0，则sin α，cos α同号，则α为第一、三象限角.
(3)终边相同角的同名三角函数的值相等.(√)
(4)sin 3>0，cos 4<0.(√)
(5)sin α>0，则α为第一、二象限角.(×)
提示　α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴.
2.(多选题)若sin αcos α<0，则角α的终边可能在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　BD
解析　由sin αcos α<0可知sin α与cos α异号，故角α的终边可能在第二象限或第四象限.
3.sin 390°的值为(　　)
A. B.
C. D.－
答案　C
解析　sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝，故选C.
4.下列4个实数中，最小的数是(　　)
A.sin 1 B.sin 2
C.sin 3 D.sin 4
答案　D
解析　∵4位于第三象限，故sin 4<0，故选D.
题型一　三角函数值在各象限的符号
【例1】　(1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(多选题)下列函数值中符号为正的是(　　)
A.sin(－1 000°) B.cos
C.tan 2 D.
答案　(1)D　(2)ABD
解析　(1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合.由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限.故选D.
(2)因为－1 000°＝－3×360°＋80°，所以－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0，故A正确；因为－是第四象限角，所以cos>0，故B正确；因为
2 rad≈2×57°18′＝114°36′是第二象限角，所以tan 2<0，故C错误；由于＝＝>0，故D正确.
思维升华　三角函数值符号的判断问题：
(1)由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r>0)，可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键.
(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求.
【训练1】　判断下列三角函数值的符号：
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin α·cos·tan(α为三角形的内角).
解　(1)∵<3<π<4<<5<2π，
∴3，4，5分别是第二、三、四象限角，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.
(2)∵α为三角形的一个内角，
∴0<α<π，0<<，
∴sin α>0，cos >0，tan >0，
∴sin α·cos ·tan >0.
题型二　公式一的应用
【例2】　求下列各式的值：
(1)cos＋tan；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.
解　(1)原式＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)
＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°
＝1＋1＋＝.
思维升华　利用公式一化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
【训练2】　(1)cos 405°的值是(　　)
A. B.－
C. D.－
(2)sin＋cos·tan 4π＝________.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)cos 405°＝cos(45°＋360°)＝cos 45°＝.
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
题型三　三角函数值符号与公式一的综合应用
【例3】　确定下列函数值的符号.
(1)tan (－672°)；(2)cos ；(3)tan；
(4)sin 1 480°10′；(5)tan.
解　(1)tan(－672°)＝tan(－672°＋2×360°)＝tan 48°>0.
(2)cos ＝cos＝cos ＝>0.
(3)tan ＝tan ＝tan ＝>0.
(4)sin 1 480°10′＝sin(4×360°＋40°10′)＝sin 40°10′>0.
(5)tan ＝tan ＝tan <0.
思维升华　对于绝对值较大的角先利用公式一转化为[0，2π)范围内的角，然后再判断符号.
【训练3】　确定下列三角函数值的符号.
(1)tan 505°；(2)tan ；(3)cos 950°；
(4)sin.
解　(1)tan 505°＝tan (360°＋145°)＝tan 145°<0.
(2)tan ＝tan ＝tan >0.
(3)cos 950°＝cos (950°－3×360°)＝cos (－130°)<0.
(4)sin＝sin＝sin >0.
1.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
2.公式一的结构特征有两个：①等号两边为同一种三角函数；②公式左边的角α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为α，利用公式一可把绝对值较大的角化为0～2π内的角.