5.3　诱导公式 第一课时　公式二、三、四-学案（Word版）

5.3　诱导公式 第一课时　公式二、三、四-学案
课标要求 素养要求
1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
自主梳理
1.诱导公式二
终边关系 图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式 sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α
2.诱导公式三
终边关系 图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式 sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan α
3.诱导公式四
终边关系 图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式 sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α
诱导公式一～四的记忆规律
(1)口诀：函数名不变，符号看象限；
(2)说明：诱导公式一～四左右两边的函数名是相同的，判断等号右边的符号时，将α看成锐角，观察π＋α的终边所在的象限，并判断函数值的符号.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)诱导公式中角α是任意角.(×)
提示　正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
(2)sin(α－π)＝sin α.(×)
提示　sin(α－π)＝sin[－(π－α)]
＝－sin(π－α)＝－sin α.
(3)cosπ＝－.(√)
(4)sin(180°－200°)＝－sin 200°.(×)
提示　sin(180°－200°)＝sin 200°.
(5)若α，β满足α＋β＝π，则sin α＝sin β.(√)
2.(多选题)下列式子中正确的是(　　)
A.sin(π－α)＝－sin α B.cos(π＋α)＝－cos α
C.sin(π＋α)＝sin α D.sin(2π＋α)＝sin α
答案　BD
解析　A中sin(π－α)＝sin α，C中sin(π＋α)＝－sin α，B，D正确.
3.计算：sin 210°＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　D
解析　sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－，故选D.
4.将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上.
(1)sin (1＋π)＝________.
(2)cos 210°＝________.
(3)tan ＝________.
答案　(1)－sin 1　(2)－cos 30°　(3)－tan
解析　(1)sin(1＋π)＝－sin 1.
(2)cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°.
(3)tan ＝tan
＝tan ＝tan ＝－tan .
题型一　给角求值问题
【例1】　(1)sin 750°＝________；cos(－2 040°)＝________；
(2)计算：sin－cos＝________.
答案　(1)　－　(2)1
解析　(1)sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝；
cos(－2 040°)＝cos 2 040°
＝cos(5×360°＋240°)
＝cos 240°＝cos(180°＋60°)
＝－cos 60°＝－.
(2)原式＝－sin－cos＝－sin－cos
＝sin＋cos＝＋＝1.
思维升华　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
【训练1】　求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°).
解　(1)法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)法一　cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
法二　cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)
＝－tan 45°＝－1.
题型二　化简求值问题
【例2】　(1)计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________.
答案　0
解析　原式＝cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝cos＋cos＋cos－cos－cos－cos＝0.
(2)化简：.
解　原式＝＝·＝1.
思维升华　三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
【训练2】　化简下列各式：
(1)；
(2).
解　(1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
题型三　给值(或式)求值问题
【例3】　已知cos＝，求cos－sin2的值.
解　因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
【迁移1】　将例3题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？
解　由题意知cos＝，求cos＋sin2的值.
因为cos＝cos＝－cos＝－，
sin2＝1－cos2＝1－＝，
所以cos＋sin2＝－＋＝.
【迁移2】　例3题中的条件不变，求cos－sin2的值.
解　cos－sin2
＝cos－sin2
＝－cos－sin2＝－－＝－.
思维升华　解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
【训练3】　已知＝3，求tan (5π－α)的值.
解　∵
＝
＝＝3，∴sin α＝－.
∵tan (5π－α)＝tan (π－α)＝－tan α.
∴当α为第三象限角时，cos α＝－，tan α＝，
tan(5π－α)＝－；
当α为第四象限角时，cos α＝，tan α＝－，
tan(5π－α)＝.
1.利用诱导公式化简(计算)的步骤：
负化正―→大化小―→化成锐角再查表
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便.