5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象-学案（Word版）

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象-学案
课标要求 素养要求
1.能利用三角函数的定义，画y＝sin x，y＝cos x的图象. 2.掌握“五点法”画y＝sin x，y＝cos x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的联系. 通过利用定义和“五点法”作y＝sin x与y＝cos x的图象，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
自主梳理
1.正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 “五点法” “五点法”
关键五点 (0，0)，(，1)，(π，0)， (，－1)，(2π，0) (0，1)，(，0)，(π，－1)， (，0)，(2π，1)
2.(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
(2)余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
3.正弦函数、余弦函数的值域
(1)y＝sin x，x∈R的值域为[－1，1]；
(2)y＝cos x，x∈R的值域为[－1，1].
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展.(×)
提示　正弦函数y＝sin x的图象向左右无限伸展，但上下限定在直线y＝1和y＝－1之间.
(2)函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同.(×)
提示　二者图象不同，而是关于x轴对称.
(3)直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象有两个交点.(√)
2.(多选题)用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列各点中属于五点作图中的五个关键点的是(　　)
A.(π，－1) B.(0，2)
C. D.
答案　BCD
解析　A中当x＝π时，y＝4，故(π，－1)不是关键点，B，C，D都是.
3.函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是(　　)
答案　B
解析　y＝sin(－x)＝－sin x，故图象与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.
4.函数y＝|sin x|的图象(　　)
A.关于x轴对称 B.关于原点对称
C.关于y轴对称 D.关于坐标轴对称
答案　C
解析　函数y＝|sin x|的图象是由y＝sin x的图象x轴上方不动，x轴下方的部分关于x轴翻折到x轴上方而得到，易知只有C正确.
题型一　正弦函数、余弦函数图象的初步认识
【例1】　(1)(多选题)下列说法正确的有(　　)
A.作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与y轴的单位长度要一致
B.y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)对称
C.y＝sin x，x∈的图象关于直线x＝成轴对称
D.正弦函数y＝sin x的图象不超出直线y＝－1和y＝1所夹的区域
(2)函数y＝sin |x|的图象是(　　)
答案　(1)ABD　(2)B
解析　(1)由正弦函数的图象可知ABD都正确.
(2)y＝sin |x|＝
结合选项可知选B.
思维升华　解决正、余弦函数图象的注意点
对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
【训练1】　函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　)
答案　D
解析　y＝cos x＋|cos x|＝
题型二　“五点法”作图的应用
【例2】　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.
解　(1)取值列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
(2)描点连线，如图所示.
思维升华　“五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下：
(1)列表：取x＝0，，π，π，2π；
(2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内；
(3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来.
在连线过程中要注意曲线的“凸性”.
【训练2】　利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图.
解　(1)取值列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1－cos x －2 －1 0 －1 －2
(2)描点连线，如图所示.
题型三　正弦、余弦函数图象的应用
角度1　解有关三角不等式
【例3－1】　利用正弦曲线，求满足解　首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象.如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0，2π]上，当所以，.
思维升华　用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式一写出不等式的解集.
【训练3－1】　在[0，2π]内，求不等式sin x<－的解集.
解　画出y＝sin x，x∈[0，2π]的
草图如下.
因为sin＝，所以sin＝－，sin＝－.即在[0，2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－在[0，2π]内的解集是.
角度2　求有关三角函数的定义域
【例3－2】　函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为________.
答案　
解析　要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－.画出y＝sin x，x∈的草图，如图所示.
当－－成立，
所以sin x>－的解集为.
可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为{x＋2kπ思维升华　求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象直观地求得解集.
【训练3－2】　求下列函数的定义域.
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝lg cos x＋.
解　(1)要使函数有定义，需满足2cos2x＋sin x－1≥0，
即2sin2x－sin x－1≤0，
解得－≤sin x≤1，由正弦函数的图象，可得
.
(2)由题意，得x满足不等式组
即作出y＝cos x的图象，如图所示.
结合图象可得：
x∈∪∪.
1.对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
2.作函数y＝asin x＋b的图象的步骤