3.2.2.1函数的奇偶性(共31张PPT)

(共31张PPT)
第三章
3.2.2　奇偶性
第一课时　函数的奇偶性
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.
课标要求
素养要求
通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
课前预习
知识探究
1
1.偶函数的定义及图象特征
(1)偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且______________________，那么函数f(x)是偶函数.
(2)偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数.
f(－x)＝f(x)
2.奇函数的定义及图象特征
(1)奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且________________________，那么函数f(x)是奇函数.
(2)奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数.
f(－x)＝－f(x)
点睛
1.思考辨析，判断正误
×
(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.( )
提示　反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数.
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )
提示　函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.
(3)奇函数f(x)的定义域为R，且f(－2)＝5，则f(2)＝－5.( )
×
√
ABD
原点
解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
1
4.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则f(－2)＝________.
解析　∵当x>0时，f(x)＝－x＋1，
∴f(2)＝－2＋1＝－1.又f(x)为定义在R上的奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)＝1.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　函数奇偶性的判定
角度1　一般函数奇偶性的判断
【例1－1】　判断下列函数的奇偶性：
解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，
且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
解　∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
角度3　抽象函数奇偶性的判断
【例1－3】　(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
证明　(1)令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x),
∴f(－x)＝－f(x)，又∵f(x)定义域为R关于原点对称，∴f(x)是奇函数.
(2)令x1＝0，x2＝x，则f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)　①，
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)　②.
由①－②得f(－x)＝f(x).
又∵f(x)定义域为R关于原点对称，∴f(x)是偶函数.
(3)若函数f(x)的定义域为(－l，l)(l>0)，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.
证明　∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，
可见f(－x)的定义域也是(－l，l).
若设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于坐标原点对称的.
又F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，
即f(x)＋f(－x)是偶函数，
f(x)－f(－x)是奇函数.
角度4　含参函数奇偶性的判断
【例1－4】　判断下列函数的奇偶性：
解　①当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，则函数f(x)为偶函数；
取x＝－1，得f(－1)＝1－a，则f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
综上所述，当a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
当a＝0时，函数f(x)为偶函数.
(2)f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R).
解　函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于坐标原点对称.
①当a≠0时，f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－(|x＋a|－|x－a|)
＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数；
②当a＝0时，函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|＝|x|－|x|＝0，
此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
综上所述，当a≠0时，函数f(x)为奇函数；
当a＝0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
判断函数奇偶性的四种方法：
(1)定义法：
思维升华
(2)图象法：
【训练1】　判断下列函数的奇偶性：
解　(1)函数的定义域为R.
∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.
∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数.
解　(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数.
(4)f(x)的定义域为R，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＝－x3，而f(x)＝x2，
∴当x<0时不满足f(－x)＝f(x)，也不满足f(－x)＝－f(x).
故此函数是非奇非偶函数.
题型二　奇、偶函数的图象特征
(2)求证：f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
(1)先判断函数的奇偶性；
(2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
思维升华
【训练2】　(1)如图给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值为(　　)
B
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为(　　)
A.(2，5) B.(－5，－2)∪(2，5)
C.(－2，0) D.(－2，0)∪(2，5)
D
解析　因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0，5]上的图象，知它在[－5，0]上的图象，如图所示，由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).
【例3】　已知函数f(x)＝ax3＋bx－2，f(2 020)＝3，则f(－2 020)＝(　　)
A.－7 B.－5 C.－3 D.3
题型三　利用奇偶性求函数值
解析　∵f(2 020)＝a×2 0203＋b×2 020－2＝3，
∴a×2 0203＋b×2 020＝5，
∴f(－2 020)＝－a×2 0203－b×2 020－2＝－5－2＝－7.
A
已知f(a)求f(－a)，判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系即可.
思维升华
B
2.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数 f(x)的图象关于y轴对称.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结