5.1.2　弧度制(共27张PPT)

(共27张PPT)
第五章
5.1.2　弧度制
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
课标要求
素养要求
1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.
2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.
课前预习
知识探究
1
1.度量角的两种单位制
角度制 定义 用____作为单位来度量角的单位制
1度的角 周角的_______为1度的角，记作1°
弧度制 定义 以______为单位来度量角的单位制
1弧度 的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1________
度
弧度
半径长
rad
2.弧度数
(1)正角：正角的弧度数是一个______.
(2)负角：负角的弧度数是一个______.
(3)零角：零角的弧度数是____.
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是
|α|＝____.
正数
负数
0
点睛
3.角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝__________ 2π rad＝__________
180°＝____________ π rad＝__________
1°＝_________≈0.017 45 rad 1 rad＝_________≈57.30°
2π rad
360°
π rad
180°
4.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝_______ l＝______
扇形的面积 S＝_______ S＝ ＝_________
α·R
点睛
1.思考辨析，判断正误
×
(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧.( )
提示　1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.
(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.( )
√
√
(4)1 rad的角比1°的角要大.( )
(5)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm).( )
提示　扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度.
√
×
2.(多选题)下列命题是真命题的是(　 　)
ABC
解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D是假命题，A，B，C是真命题.
一
4.若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限.
解析　2π－5与－5的终边相同，
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　角度与弧度的互化及应用
【例1】　将下列角度与弧度进行互化：
角度与弧度互化的方法
思维升华
【例2】　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).
题型二　用弧度制表示角的集合
(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是
根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.
(4)按逆时针方向书写.
思维升华
【训练2】　已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.
题型三　弧长公式与面积公式的应用
根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，设⊙O1与OA切于C点.连接O1O，O1C.
OO1＝OA－O1C＝300－O1C，
解得O1C＝100 m.
这时⊙O1的面积为π×1002＝10 000 π(m2).
扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法
首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)；其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意：
(1)看清角的度量制，选用相应的公式；
(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.
思维升华
【训练3】　已知扇形AOB的周长为10 cm.
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r＝1或r＝4.
当r＝1时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
解　由l＋2r＝10得l＝10－2r，
课堂小结