5.2.2　同角三角函数的基本关系(共31张PPT)

(共31张PPT)
第五章
5.2.2　同角三角函数的基本关系
1.理解同角三角函数的基本关系式.
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.
课标要求
素养要求
通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
课前预习
知识探究
1
1.同角三角函数的基本关系
描述方式 基本关系　　　 基本关系式 语言描述
平方关系 ________________ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系 ___________________________ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
sin2α＋cos2α＝1
2.同角三角函数基本关系式的变形
1－cos2α
1－sin2α
1±2sin αcos α
tan αcos α
点睛
1.思考辨析，判断正误
×
(1)sin2α＋cos2β＝1.( )
提示　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
√
×
×
2.(多选题)下列四个结论中可能成立的是(　　)
AB
B
2
课堂互动
题型剖析
2
题型一　同角三角函数的基本关系及简单应用
(1)当α是第二象限角时，则
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
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(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
【例2】　化简：　
题型二　三角函数式的化简
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
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角度1　弦切互化求值
【例3－1】　已知tan α＝2.
题型三　三角函数式的求值
(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.
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由上知，θ为第二象限角，所以sin θ－cos θ>0，
已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
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又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，
解析　由题中等式易知cos α≠0，
整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，
即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，
题型四　三角恒等式的证明
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角度2　条件恒等式的证明
【例4－2】　已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明　因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.
即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
含有条件的三角恒等式证明的常用方法
(1)直推法：从条件直推到结论；
(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.
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∴原等式成立.
证明　设sin2A＝m(0则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.
课堂小结