5.5.1第一课时　两角差的余弦公式(共21张PPT)

(共21张PPT)
第五章
5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时　两角差的余弦公式
1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.
课标要求
素养要求
在熟知两角差余弦公式的意义的基础上，重点提升学生的数学运算、逻辑推理的素养.
课前预习
知识探究
1
1.公式：对于任意角α，β都有cos(α－β)＝______________________.
2.简记符号
任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β).
cos αcos β＋sin αsin β
点睛
(1)公式的结构特征：
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是n个角的组合，如cos(α＋β)·cos β＋sin(α＋β)·sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.　　　
1.思考辨析，判断正误
×
(1)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β.( )
√
√
2.(多选题)下列结论正确的是(　 　)
A.存在这样的α和β值，使得cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β
B.不存在无穷多个α和β值，使得cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β
C.对任意的α和β，都有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
D.不存在这样的α和β值，使得cos(α－β)≠cos αcos β＋sin αsin β
ACD
解析　若sin α或sin β有一个为0，即α＝kπ(k∈Z)或β＝kπ(k∈Z)，
则cos(α－β)＝cos αcos β，故A，C，D正确，B不正确，故选ACD.
3.cos 54°cos 24°＋cos 36°sin 24°＝________.
4.cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　两角差的余弦公式的简单应用
【例1】　(1)cos(－15°)的值是(　　)
D
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
思维升华
【训练1】　求下列三角函数式的值：
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.
题型二　给值求值
思维升华
题型三　给值求角
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)求所求角的某种三角函数值(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数).
(2)结合三角函数值及角的范围求角.
思维升华
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β)
1.记住两角差的余弦公式的特征，既可以正用，也可以逆用.
2.在利用两角差的余弦公式求值时，不可机械地套用公式，而要从题目条件出发，将要求的角分解成题中已知角的差.
3.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值.
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结