5.5.1第三课时　两角和与差的正切公式(共22张PPT)

(共22张PPT)
第五章
第三课时　两角和与差的正切公式
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
课标要求
素养要求
从公式间的联系入手，引导学生对公式变形，感悟数学抽象的作用，提升逻辑推理、数学运算素养.
课前预习
知识探究
1
1.两角和与差的正切公式
2.两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝________________________.
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝__________.
tan αtan β＝______________.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝_______________________.
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝__________.
tan αtan β＝______________.
tan(α＋β)(1－tan αtan β)
tan(α＋β)
tan(α－β)(1＋tan αtan β)
tan(α－β)
点睛
S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)，S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)这6个和与差的三角函数公式之间具有紧密的联系(有时可以互相转化)，这种联系可用框图形式表示，如图.
1.思考辨析，判断正误
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立.( )
√
×
×
2.(多选题)已知α，β为任意角，则下列等式恒成立的有(　　 )
ABC
－3
课堂互动
题型剖析
2
题型一　公式的正用、逆用、变形用
A
－1
(3)∵tan 23°＋tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)，
思维升华
【训练1】　求值：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得：
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35，
所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1.
(3)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°
＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.
题型二　条件求值问题
解析　(1)由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
A
C
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值.
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.
思维升华
题型三　给值求角问题
(2)若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.
解　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，
∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，
探究利用公式T(α±β)求角的步骤
(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值.
(2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角.
思维升华
C
课堂小结