5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式第二课时　两角和与差的正弦、余弦公式-学案（Word版）

第二课时　两角和与差的正弦、余弦公式-学案
课标要求 素养要求
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角差(和)的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简. 理清两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系，熟悉公式的特征，完善知识结构，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
自主梳理
1.三类公式
公式 简记 适用范围
cos(α＋β)＝cos__αcos__β－in__αsin__β C(α＋β) α，β都是任意角
sin(α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β S(α＋β)
sin(α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β S(α－β)
2.S(α＋β)，C(α＋β)叫做和角公式，S(α－β)，C(α－β)叫做差角公式.
(1)两角和与差的余弦公式的记忆技巧：“余余正正，符号相异”.①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦，正弦乘正弦，②“符号相异”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相异.
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧：“正余余正，符号相同”.
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“＋”，两角差时用“－”.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)sin(α＋β)＝sin α＋sin β 一定不成立.(×)
提示　提示当α＝β＝0时，公式成立.
(2)sin(α－β)＝sin α－sin β恒成立.(×)
提示　根据公式不能恒成立.
(3)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝.(×)
提示　sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin 30°＝.
(4)cos 71°sin 11°－sin 71°cos 11°＝－.(√)
2.化简：sincos α－cossin α＝________.
答案　
解析　原式＝sin＝sin ＝.
3.cos 75°＝________.
答案　
解析　cos 75°＝cos(30°＋45°)
＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝.
4.若sin α＝，α∈，则sin＝________.
答案　
解析　易得cos α＝，
故sin＝sin αcos＋cos αsin＝.
题型一　公式的正用和逆用
【例1】　求值：
(1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝________；
(2)sin 15°＋sin 75°＝________；
(3)已知α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则sin(α＋β)的值为________，sin(α－β)的值为________.
答案　(1)　(2)　(3)　
解析　(1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin(20°＋40°)＝sin 60°＝.
(2)sin 15°＋sin 75°＝sin (45°－30°)＋sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°·sin 30°＝2sin 45°cos 30°＝.
(3)∵α，β都是锐角，且sin α＝，sin β＝，
∴cos α＝＝＝，
cos β＝＝＝.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝.
思维升华　探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.
【训练1】　(1)化简：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝________；
(2)求值：＝________.
答案　(1)　(2)2－
解析　(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝
＝
＝＝＝＝＝2－.
题型二　给值求值
【例2】　已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值.
解　因为<α<，所以<＋α<π.
因为cos＝－，所以sin＝.
因为0<β<，所以<＋β<π.
因为sin＝，所以cos＝－.
因为＋＝π＋α＋β，
所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]
＝－sin
＝－sincos－cossin
＝－×－×＝.
思维升华　给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；
②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
【训练2】　已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值.
解　∵sin(α＋β)＝，∴sin αcos β＋cos αsin β＝.①
∵sin(α－β)＝，∴sin αcos β－cos αsin β＝.②
由①，②解得sin αcos β＝，cos αsin β＝，
∴＝＝＝5.
题型三　给值求角
【例3】　已知sin＝，sin＝，且α－∈，β－∈，求的值.
解　(1)∵α－∈，β－∈，
∴0<<π，cos＝，cos＝.
∴cos＝cos
＝coscos－sin sin
＝×－×＝，
∴＝.
思维升华　已知三角函数值求角的方法
已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好.
【训练3】　设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，求α＋β的值.
解　∵<α<π，<β<π且sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝－，sin β＝，且π<α＋β<2π，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－＝，
∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝.
1.两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sin·cos α－cossin α＝－cos α.
2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)
＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.