5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三课时　两角和与差的正切公式-学案（Word版）

第三课时　两角和与差的正切公式-学案
课标要求 素养要求
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 从公式间的联系入手，引导学生对公式变形，感悟数学抽象的作用，提升逻辑推理、数学运算素养.
自主梳理
1.两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)， tan α·tan β≠1
两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)， tan α·tan β≠－1
2.两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan__αtan__β).
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β).
tan αtan β＝1－.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan__αtan__β).
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β).
tan αtan β＝－1.
S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)，S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)这6个和与差的三角函数公式之间具有紧密的联系(有时可以互相转化)，这种联系可用框图形式表示，如图.
　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立.(√)
(2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立.(×)
提示　两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z).
(3)tan能根据公式tan(α－β)直接展开.(×)
提示　的正切值不存在.
2.(多选题)已知α，β为任意角，则下列等式恒成立的有(　　)
A.sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
B.cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
C.cos＝－sin α
D.tan(α－β)＝
答案　ABC
解析　D中，α，β，α－β为＋kπ，k∈Z时不成立，A，B，C中的等式恒成立.
3.已知tan α＝2，则tan＝________.
答案　－3
解析　tan＝＝－3.
4.＝________.
答案　
解析　原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.
题型一　公式的正用、逆用、变形用
【例1】　(1)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)＝________；
(3)求值：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝________.
答案　(1)A　(2)－1　(3)
解析　(1)tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝.
(2)原式＝＝
＝＝－1.
(3)∵tan 23°＋tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝－tan 23°tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
思维升华　探究公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan.
(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式.
【训练1】　求值：
(1)；
(2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°；
(3)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°).
解　(1)＝
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝.
(2)由tan(α＋β)＝的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得：
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)
＝1－tan 10°tan 35，
所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1.
(3)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋
tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.
题型二　条件求值问题
【例2】　(1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为(　　)
A.－3 B.－1
C.1 D.3
(2)已知sin α＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－，
∴tan α＝－.
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝－.
思维升华　给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值.
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.
【训练2】　已知tan(α＋β)＝，tan＝.求tan的值.
解　tan＝tan
＝＝＝.
题型三　给值求角问题
【例3】　(1)在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，则角C＝________.
答案　
解析　tan(A＋B)＝＝＝－1，
∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝.
(2)若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.
解　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，
∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，
∴＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.
∵α，β∈，∴α＋β∈(π，2π).
∴α＋β＝.
思维升华　探究利用公式T(α±β)求角的步骤
(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值.
(2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角.
【训练3】　已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　　)
A. B.
C.π D.
答案　C
解析　∵tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，
∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋kπ(k∈Z).
又∵α为锐角，∴α＝－＝.
要熟练掌握两角和与差的正切公式及其变形公式，在题目中只要见到tan α±
tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T(α＋β)的意识.
2.当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值如“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出有利于应用公式的条件，从而可以进行化简和求值.