5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式-学案（Word版）

第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式-学案
课标要求 素养要求
1.会从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形应用. 在二倍角公式的推导中，经历由特殊到一般的逻辑推理过程，发展学生的数学运算素养.
自主梳理
二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α＝2sin__αcos__α S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α
正切 tan 2α＝ T2α
以上这些公式都叫做倍角公式，倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.
(1)二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是的二倍，2α＋是α＋的二倍等.
(2)二倍角的余弦公式的变形：
①cos2α＝；
②sin2α＝.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)sin α＝2sincos.(√)
(2)cos2α＝(1＋cos 2α)，cos 3α＝1－2sin2α.(√)
(3)＝tan.(×)
提示　公式中所含各角都要使三角函数有意义，而tan无意义.
(4)sin2－cos2＝.(×)
提示　sin2－cos2＝－
＝－cos＝－.
2.sincos的值为________.
答案　
解析　sincos＝sin＝.
3.cos2－sin2的值为________.
答案　
解析　cos2－sin2＝cos＝.
4.＝________.
答案　
解析　＝tan 30°＝.
题型一　给角求值问题
【例1】　求下列各式的值.
(1)1－2sin2750°；
(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
解　(1)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.
(2)原式＝＝＝＝2.
(3)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
＝·sin 40°cos 40°cos 80°
＝sin 80°cos 80°＝·sin 160°
＝＝.
思维升华　二倍角公式的关注点
(1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角，α是的二倍角，3α是的二倍角等.
(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.
(3)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异.
【训练1】　(1)－cos2＝________；
(2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.
答案　(1)－　(2)
解析　(1)原式＝＝－cos＝－.
(2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°
＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝
＝
＝＝＝＝.
题型二　给值求值问题
【例2】　(1)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)
A. B.
C.1 D.
(2)已知cos＝，≤α<，则cos的值为________.
(3)已知sin＝，0答案　(1)A　(2)－　(3)
解析　(1)原式＝cos2α＋4sin αcos α＝
＝＝.
(2)∵≤α<，又cos ＝>0，
∴<α＋<，
∴sin＝－＝－，
从而cos 2α＝sin＝2sincos
＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝.
∴cos＝cos 2αcos－sin 2αsin＝(cos 2α－sin 2α)＝×＝－.
(3)∵0∴－x∈，cos＝，
利用诱导公式，sin＝cos
＝cos＝.
∴原式＝＝
＝2sin＝.
思维升华　解决给值求值问题的方法
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
(2)当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.
【训练2】　设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________.
答案　
解析　∵α为锐角，∴<α＋<.
∵cos＝，∴sin＝，
∴sin＝sin
＝2sincos
＝2××＝，
cos＝cos
＝2cos2－1
＝2×－1＝，
∴sin＝sin
＝sincos－cossin
＝×＝×＝.
题型三　三角函数式的化简与证明
角度1　三角恒等式的证明问题
【例3－1】　求证：＝tan4 A.
证明　∵左边＝
＝＝＝(tan2A)2
＝tan4 A＝右边，
∴＝tan4 A.
角度2　三角函数式的化简问题
【例3－2】　化简：.
解　
＝
＝·
＝sin x·＝tan x.
思维升华　探究三角函数式化简、证明的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化；
(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；
(3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用；
(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；
(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等.
【训练3】　(1)求证：＝.
(2)化简·.
(1)证明　原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ
＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，(*)
而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ)
＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)
＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ
＝sin 4θ＋1－cos 4θ
＝左边，
∴(*)式成立，即原式得证.
(2)解　原式＝·
＝·
＝·＝2.
1.倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍……这里蕴含着换元思想.这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.
2.在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝.