5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)第二课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质的应用-学案（Word版）

第二课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质的应用-学案
课标要求 素养要求
1.能根据y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象确定其解析式. 2.整体把握函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质，并能解决有关问题. 通过函数图象能抽象出数学模型，并能研究函数的性质，逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模素养.
自主梳理
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）中，A，ω，φ的物理意义
（1）简谐运动的振幅就是A.
（2）简谐运动的周期T＝.
（3）简谐运动的频率f＝＝.
（4）ωx＋φ称为相位.
（5）x＝0时的相位φ称为初相.
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的有关性质
名称 性质
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称中心 （k∈Z）
对称轴 x＝＋（k∈Z）
奇偶性 当φ＝kπ（k∈Z）时是奇函数； 当φ＝kπ＋（k∈Z）时是偶函数
单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间； 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
自主检验
1.思考辨析，判断正误
（1）y＝Asin（ωx＋φ）的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.（√）
（2）在y＝Asin（ωx＋φ）的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期.（×）
提示　相邻对称轴间距离为半个周期.
（3）函数y＝sin的图象对称轴为x＝＋（k∈Z）.（√）
（4）函数f（x）＝sin的图象的对称中心是（k∈Z）.（×）
提示　由x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－＋kπ（k∈Z），故对称中心是（k∈Z）.
2.（多选题）设f（x）＝3sin－1，则（　　）
A.f（x）的最小正周期为π
B.f（x）的最大值为2
C.把f（x）的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称
D.f（x）的图象关于点对称
答案　AB
解析　由T＝＝π知A正确；由于3sin≤3，故f（x）的最大值为2，B正确；把f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y＝3sin＝
3sin 的图象，不关于y轴对称，C不正确；由f＝－1≠0知D错误.
3.若f（x）＝cos是奇函数，则φ＝　　　　.
答案　
解析　由题意可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|<，故当k＝0时，得φ＝.
4.函数f（x）＝2sin的单调递增区间为　　　　.
答案　（k∈Z）
解析　－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），即－＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），∴－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）.
题型一　函数y＝Asin（ωx＋φ）中参数的物理意义
【例1】　（1）简谐运动f（x）＝2sin的图象经过点P（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（　　）
A.T＝6，φ＝ B.T＝6，φ＝
C.T＝6π，φ＝ D.T＝6π，φ＝
（2）函数y＝－6sin，x∈R的振幅、周期、初相为（　　）
A.A＝－6，T＝＝π，φ＝
B.A＝－6，T＝＝π，φ＝－
C.A＝－6，T＝＝π，φ＝π
D.A＝6，T＝＝π，φ＝π
答案　（1）A　（2）D
解析　（1）由x＋φ＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z，
结合|φ|<，知φ＝.
（2）y＝－6sin＝6sin
＝6sin，可知选D.
思维升华　首先把函数解析式化为y＝Asin（ωx＋φ）（其中A>0，ω>0）的形式，再求振幅、周期、初相.应注意A>0，ω>0.
【训练1】　（1）简谐运动y＝4sin的相位、初相、频率是（　　）
A.5x－，－， B.5x－，4，
C.5x－，－， D.4，，2π
（2）函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是（　　）
A.2π，－2， B.4π，－2，
C.2π，2，－ D.4π，2，－
答案　（1）C　（2）D
解析　（1）由解析式直接获得.
（2）y＝－2sin＝2sin，可知选D.
题型二　由图象求三角函数的解析式
【例2】　如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一部分，求此函数的解析式.
解　法一（逐一定参法）
由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin（2x＋φ）.
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝2kπ（k∈Z），
得φ＝＋2kπ（k∈Z）.
∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin.
法二（待定系数法）
由图象知A＝3.
∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
法三（图象变换法）
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin 2，
即y＝3sin.
思维升华　已知图象求y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的方法
法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin（ωx＋φ）中的参数A和ω，再选取“第一个零点”（即五点作图法中的第一个）的数据代入“ωx＋φ＝0”（要注意正确判断哪一个点是“第一零点”）求得φ.
法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.
法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数.
【训练2】　若函数y＝sin（ωx＋φ）（x∈R，ω>0，0≤φ<2π）的部分图象如图，则（　　）
A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝
C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝
答案　C
解析　由所给图象可知，＝2，∴T＝8.
又∵T＝，∴ω＝.
∵在x＝1处取得最大值，∴＋φ＝＋2kπ（k∈Z），
∴φ＝2kπ＋（k∈Z），∵0≤φ<2π，∴φ＝.
题型三　y＝Asin（ωx＋φ）的性质的综合应用
【例3】　已知函数f（x）＝sin＋.
（1）求f（x）的振幅、最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）的图象的对称轴方程和对称中心；
（3）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合.
解　（1）函数f（x）的振幅为，最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.
（2）令2x＋＝kπ＋（k∈Z），则x＝＋（k∈Z），
所以对称轴方程为x＝＋（k∈Z）；
令2x＋＝kπ（k∈Z），则x＝－（k∈Z），
所以对称中心为（k∈Z）.
（3）sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ（k∈Z），
x＝－＋kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值为，
此时x的取值集合是.
思维升华　研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质的两种方法
（1）客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f（θ）＝±A；（θ，0）为对称中心，则f（θ）＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间.
（2）主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin t的性质.
【训练3】　（1）（多选题）已知函数f（x）＝sin（ω>0）的最小正周期为π，则该函数图象（　　）
A.关于点对称 B.关于直线x＝对称
C.关于点对称 D.关于直线x＝对称
（2）（多选题）将函数f（x）＝2sin－1的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（　　）
A.函数g（x）的图象关于点对称
B.函数g（x）的最小正周期是
C.函数g（x）在上单调递增
D.函数g（x）在上的最大值是1
答案　（1）AB　（2）ABD
解析　（1）由T＝＝π，解得ω＝2，则f（x）＝sin.该函数图象关于点对称，关于直线x＝对称.
（2）将函数f（x）＝2sin－1的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）＝2sin－1的图象.因为当x＝－时，g（x）＝－1，故函数g（x）的图象不关于点对称，故A错误；函数g（x）的最小正周期为＝π，故B错误；
在上，2x＋∈，g（x）单调递增，故C正确；
在上，2x＋∈，g（x）的最大值趋向于1，故D错误.故选ABD.
1.由函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω>0，A>0）的图象求其解析式时的难点是求φ，一般用解方程法或“五点法”求解.
2.涉及图象与性质的综合题，一般要利用三角恒等变换把三角函数化为y＝
Asin（ωx＋φ）＋b的形式后，再研究其性质.