5.7　三角函数的应用-学案（Word版）

5.7　三角函数的应用-学案
课标要求 素养要求
1.会用三角函数解决简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.
自主梳理
1.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.
(1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
(2)简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
(3)简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
(4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相.
2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制.(√)
(2)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0，24).
则实验室这一天的最大温差为4 ℃.(√)
(3)在建立具有周期现象的数学模型时只能用y＝Asin(ωx＋φ)＋b来刻画.(×)
提示　y＝Acos(ωx＋φ)＋b亦可.
2.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流I为________A.
答案　2.5
解析　I＝5sin＝5cos＝2.5(A).
3.振动量y＝sin(ωx＋φ)(φ>0)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是________.
答案　3πx－π
解析　∵T＝，∴ω＝3π，初相为－π，∴相位为3πx－π.
4.如图所示 ，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，则单摆来回摆动一次所需的时间为________s.
答案　1
解析　因为单摆运动的周期为T＝＝1，故单摆来回摆动一次所需时间为1 s.
题型一　已知三角函数图象解决应用问题
【例1】　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解　(1)由题图知A＝300，设t1＝，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝.
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，
即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意，周期T≤，
即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
思维升华　已知三角函数图象解决应用问题，首先由图象确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值范围.
【训练1】　弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移.
解　(1)设振幅为A，则2A＝20 cm，
所以A＝10 cm.
设周期为T，则＝0.5 s，所以T＝1 s，所以f＝1 Hz.
(2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm).
5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
题型二　已知三角函数解析式解决应用问题
【例2】　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin.
(1)画出它一个周期的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解　(1)周期T＝＝1(秒).
列表：
t 0 1
2πt＋ π 2π
6sin(2πt＋) 3 6 0 －6 0 3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米.
③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).
思维升华　在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：
(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；
(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；
(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.
【训练2】　已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16].
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解　(1)x∈[4，16]，则x－∈.
由函数解析式易知，当x－＝，
即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃，当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20( ℃).
(2)令10sin＋20＝15，可得sin＝－，而x∈[4，16]，所以x＝.令10sin＋20＝25，可得sin＝，而x∈[4，16]，所以x＝.故该细菌在这段时间内能存活－＝(小时).
题型三　建立确定的三角函数模型
【例3】　如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式.
解　(1)由题意可作图如图.过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.
当<θ≤π时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8 sin；
当0≤θ≤，π<θ≤2π时，
上述解析式也适合.
则h与θ间的函数解析式为h＝5.6＋4.8sin.
(2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是＝，
∴t秒转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞).
思维升华　面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程.
【训练3】　如图，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是(　　)
A.h＝8cost＋10 B.h＝－8cost＋10
C.h＝－8sint＋10 D.h＝－8cost＋10
答案　D
解析　由T＝12，排除B；当t＝0时，h＝2，排除A，C.
题型四　三角函数模型的拟合
【例4】　下表是某地某年月平均气温(华氏)：
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴.
(1)用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；
(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？
①＝cos；②＝cos；③＝cos.
解　(1)如图.
(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，
故＝7－1＝6，所以T＝12.
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，
即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.
(3)因为x＝月份－1，
所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0.
代入①，得＝>1≠cos，故①不适合；
代入②，得＝<0≠cos，故②不适合.所以应选③.
思维升华　根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.
【训练4】　一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
答案　y＝－4cost，t≥0
解析　设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，
则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，
又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，
则y＝4sin，
即y＝－4cost，t≥0.
三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.